Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de V.
Sejam W1=(a, b, 0) / a, b in R e W2=(0,0, c) / c in R subespaços vetoriais de R^3. O conjunto W=W1+W2 é um subespaços vetorial de V=R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto W = W1 + W2 é um subespaço vetorial de V = R^3 . A matéria envolvida aqui são os subespaços vetoriais e a soma de subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser um subespaço e como somar dois subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto W é um subespaço de V se:
  1. O vetor zero de V está em W .
  2. Se u e v estão em W , então u + v também está em W (fechado sob adição).
  3. Se u está em W e c é um escalar, então c cdot u está em W (fechado sob multiplicação por escalar).

Passo 3

Agora, vamos entender o que é a soma de dois subespaços W1 + W2 . Essa soma consiste em todos os vetores que podem ser escritos como w1 + w2 , onde w1 está em W1 e w2 está em W2 . Ou seja:
W = W1 + W2 = w1 + w2 mid w1 in W1, w2 in W2

Passo 4

Vamos aplicar isso aos nossos subespaços:
W1 = (a, b, 0) mid a, b in R
W2 = (0, 0, c) mid c in R
Então, qualquer vetor em W é:
w = (a, b, 0) + (0, 0, c) = (a, b, c)
Isso significa que:
W = (a, b, c) mid a, b, c in R
E olha só, isso é exatamente R^3 !

Passo 5

Agora, vamos verificar se W satisfaz as condições de ser um subespaço:
  1. O vetor zero (0, 0, 0) está em W quando a = b = c = 0 .
  2. Se pegar dois vetores (a, b, c) e (a', b', c') em W , a soma é (a + a', b + b', c + c') , que também está em W .
  3. Para qualquer escalar k e vetor (a, b, c) em W , k cdot (a, b, c) = (k a, k b, k c) também está em W .
Todas as condições são satisfeitas, então W é um subespaço de R^3 .

Resposta

Sim, W = W1 + W2 é um subespaço vetorial de V = R^3 .

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