Sejam
e
subespaços vetoriais de
.
Sejam
e
subespaços vetoriais de
. O conjunto
é um subespaços vetorial de
?
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. A matéria envolvida aqui são os subespaços vetoriais e a soma de subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser um subespaço e como somar dois subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se:
- O vetor zero de
está em . - Se
e estão em , então também está em (fechado sob adição). - Se
está em e é um escalar, então está em (fechado sob multiplicação por escalar).
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a soma de dois subespaços
. Essa soma consiste em todos os vetores que podem ser escritos como
, onde
está em
e
está em
. Ou seja:
Passo 4
Vamos aplicar isso aos nossos subespaços:
Então, qualquer vetor em
é:
Isso significa que:
E olha só, isso é exatamente
!
Passo 5
Agora, vamos verificar se
satisfaz as condições de ser um subespaço:
- O vetor zero
está em quando . - Se pegar dois vetores
e em , a soma é , que também está em . - Para qualquer escalar
e vetor em , também está em .
Todas as condições são satisfeitas, então
é um subespaço de
.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
.