Sejam os subespaços vetoriais S_{1}=\{(a, b, 0) ; a, b \in \square\} e S_{2}=\{(0,0, c) ; c \in \square\} do espaço vetorial \square^{3}. Determine:
a) S_{1}+S_{2}
b) S_{1} \cap S_{2}

Passo 1

O enunciado define os subespaços
S_{1}=\{(a,b,0)\mid a,b\in\square\},\quad S_{2}=\{(0,0,c)\mid c\in\square\}
do espaço vetorial \square^{3}. Precisamos usar a definição de soma de subespaços
S_{1}+S_{2}=\{u+v\mid u\in S_{1},\,v\in S_{2}\}
e de interseção
S_{1}\cap S_{2}=\{w\mid w\in S_{1}\text{ e }w\in S_{2}\}.

Passo 2

Para S_{1}+S_{2}, tome u=(a,b,0)\in S_{1} e v=(0,0,c)\in S_{2}. Então
u+v = (a,b,0)+(0,0,c) = (a,b,c).
Como a,b,c são arbitrários em \square, vemos que
S_{1}+S_{2} = \{(a,b,c)\mid a,b,c\in\square\} = \square^{3}.

Passo 3

Para S_{1}\cap S_{2}, um vetor w=(x,y,z) em S_{1}\cap S_{2} deve satisfazer
w\in S_{1}\implies z=0, \quad w\in S_{2}\implies x=0,\;y=0.
Logo x=y=z=0 e
S_{1}\cap S_{2} = \{(0,0,0)\}.

Resposta

a) S_{1}+S_{2}=\square^{3}.
b) S_{1}\cap S_{2}=\{(0,0,0)\}.

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