Sejam os subespaços vetoriais S_{1}=\{(a, b, 0) ; a, b \in \square\} e S_{2}=\{(0,0, c) ; c \in \square\} do espaço vetorial \square^{3}. Determine:
a) S_{1}+S_{2}
b) S_{1} \cap S_{2}

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \mathbb{R}^3:
S_{1} = \{(a,b,0)\mid a,b\in\mathbb{R}\},\quad S_{2} = \{(0,0,c)\mid c\in\mathbb{R}\}.
O que precisamos é aplicar as definições de soma de subespaços
S_{1}+S_{2} = \{v+w\mid v\in S_{1},\,w\in S_{2}\}
e de interseção
S_{1}\cap S_{2} = \{v\in\mathbb{R}^3\mid v\in S_{1}\text{ e }v\in S_{2}\}.

Passo 2

Para S_{1}+S_{2}, tome v=(a,b,0)\in S_{1} e w=(0,0,c)\in S_{2}. Então
v+w = (a,b,0)+(0,0,c) = (a,b,c).
Como a,b,c variam livremente em \mathbb{R}, vemos que
S_{1}+S_{2} = \{(a,b,c)\mid a,b,c\in\mathbb{R}\} = \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para S_{1}\cap S_{2}, buscamos vetores que pertençam a ambos. Se (x,y,z)\in S_{1}\cap S_{2}, então
(x,y,z)\in S_{1}\implies z=0,
(x,y,z)\in S_{2}\implies x=0,\;y=0.
Logo x=y=z=0 e
S_{1}\cap S_{2} = \{(0,0,0)\}.

Resposta

a) S_{1}+S_{2} = \mathbb{R}^3
b) S_{1}\cap S_{2} = \{(0,0,0)\}

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