Determine se os seguintes vetores em square^{3} são LD ou não.
(1,-3,7); ( 2,0,-6 ); ( 3,-1,-1 ); ( 2,4,-5 )

Passo 1

O enunciado nos dá quatro vetores em \mathbb{R}^3:
v_{1}=(1,-3,7),\quad v_{2}=(2,0,-6),\quad v_{3}=(3,-1,-1),\quad v_{4}=(2,4,-5).
Precisamos verificar se o conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} é linearmente dependente. O conteúdo aqui é dependência linear em espaços vetoriais, especialmente o Teorema da Dimensão em \mathbb{R}^n.

Passo 2

Relembrando o Teorema da Dimensão: em um espaço vetorial de dimensão n só podem existir no máximo n vetores linearmente independentes. Se tivermos mais de n vetores, o conjunto é necessariamente linearmente dependente.

Passo 3

Como estamos em \mathbb{R}^3 (dimensão 3) e temos 4 vetores, já concluímos imediatamente que \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} é linearmente dependente.

Passo 4

Para ilustrar a dependência, mostramos explicitamente que v_{4} é combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}. Procuramos escalares a,b,c não todos nulos tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=v_{4}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} a+2b+3c=2,\\\\ -3a\,-c=4,\\\\ 7a-6b-c=-5. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema, obtemos
a=-\tfrac{33}{14},\quad b=-\tfrac{17}{7},\quad c=\tfrac{43}{14},
que não são todos zero. Portanto existe uma combinação linear não trivial
-\tfrac{33}{14}\,v_{1}-\tfrac{17}{7}\,v_{2}+\tfrac{43}{14}\,v_{3}=v_{4},
confirmando a dependência.

Resposta

O conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} é linearmente dependente.

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