Determine se u, v e w são linearmente dependentes, sendo:
\mathrm{u}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], \mathrm{v}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] e \mathrm{w}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes em M_{2\times2}(\mathbb{R}):
u = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad w = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Queremos ver se existem escalares \alpha,\beta,\gamma, não todos nulos, tais que
\alpha\,u + \beta\,v + \gamma\,w = 0.
Isso equivale a testar dependência linear em um espaço vetorial de dimensão 4.

Passo 2

Representamos cada matriz como um vetor em \mathbb{R}^4 pela leitura linha a linha:
u\mapsto(1,1,1,1),\quad v\mapsto(1,0,0,1),\quad w\mapsto(1,1,0,0).
A condição \alpha\,u + \beta\,v + \gamma\,w = 0 vira o sistema
\alpha(1,1,1,1) + \beta(1,0,0,1) + \gamma(1,1,0,0) = (0,0,0,0).

Passo 3

Escrevendo componente a componente, obtemos
\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 0,\\\ \alpha + 0\beta + \gamma = 0,\\\ \alpha + 0\beta + 0\gamma = 0,\\\ \alpha + \beta + 0\gamma = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem \alpha=0. Substituindo em \alpha+\gamma=0 \gamma=0. Finalmente, \alpha+\beta=0 com \alpha=0 \beta=0.

Passo 4

A única solução do sistema é \alpha=\beta=\gamma=0. Logo não há combinação linear não trivial que anule u,v,w.

Resposta

u, v e w são linearmente independentes.

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