Calcular os limites das seguintes funções vetoriais de uma variável.
Passo 1
O exercício pede para calcular o limite de uma função vetorial quando $ t $ se aproxima de 0. A função tem duas partes:
- $ \frac{\sqrt{t+1}-1}{\sqrt[3]{t+1}-1} $
- $ \frac{\sqrt[3]{t+27}-3}{\sqrt[4]{t+16}-2} $
Vamos usar conhecimentos de limites e simplificação de expressões envolvendo raízes para resolver.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte: $ \frac{\sqrt{t+1}-1}{\sqrt[3]{t+1}-1} $.
Primeiro, percebemos que quando $ t $ se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0, resultando em uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Para resolver isso, podemos usar a expansão em série de Taylor ou racionalizar as expressões.
Vamos aplicar a expansão em série de Taylor para simplificar:
- Para a raiz quadrada: $ \sqrt{t+1} \approx 1 + \frac{t}{2} $ quando $ t $ é pequeno.
- Para a raiz cúbica: $ \sqrt[3]{t+1} \approx 1 + \frac{t}{3} $ quando $ t $ é pequeno.
Substituindo na expressão:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: $ \frac{\sqrt[3]{t+27}-3}{\sqrt[4]{t+16}-2} $.
Aqui, substituindo $ t = 0 $, temos $ \sqrt[3]{27} - 3 = 0 $ e $ \sqrt[4]{16} - 2 = 0 $, novamente uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $.
Usando a expansão em série de Taylor:
- Para a raiz cúbica: $ \sqrt[3]{t+27} = \sqrt[3]{27(1 + \frac{t}{27})} = 3 \left(1 + \frac{t}{81}\right) $
- Para a raiz quarta: $ \sqrt[4]{t+16} = \sqrt[4]{16(1 + \frac{t}{16})} = 2 \left(1 + \frac{t}{64}\right) $
Substituindo na expressão:
Resposta
O limite da função vetorial é $ \left(\frac{3}{2}, \frac{32}{27}\right) $.