Verificar a convergência da seguinte série. Justifique
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge ou não. Isso está ligado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente sobre convergência de séries numéricas. Para resolver, vamos precisar saber como funciona o comportamento dos termos da série e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série:
. Para diferentes valores de
, o cosseno desse ângulo vai assumir certos valores. Vamos calcular alguns termos para identificar um padrão:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
Vejo que os termos da série alternam entre 0, -1, 0, 1, etc. Então, a série se comporta assim:
Passo 3
Agora que identificamos o padrão, vamos verificar se essa série converge. Uma das maneiras de testar a convergência é verificar se o limite dos termos da série tende a zero quando
vai para o infinito. Se o limite não for zero, a série definitivamente não converge.
Calculando o limite:
Perceba que, conforme
aumenta,
aumenta sem limite, e o cosseno de um ângulo que cresce indefinidamente não tem um valor único para onde tende. Em vez disso, ele continua oscilando entre -1, 0 e 1.
Passo 4
Já que o limite dos termos não existe ou não é zero, isso significa, pelo Teste da Divergência (ou teste do termo geral), que a série
não converge.
Resposta
A série
não converge.