Verificar a convergência da seguinte série. Justifique
sum cos (n pi2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série sum cos(n pi2) converge ou não. Isso está ligado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente sobre convergência de séries numéricas. Para resolver, vamos precisar saber como funciona o comportamento dos termos da série e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série: cos(n pi2). Para diferentes valores de n, o cosseno desse ângulo vai assumir certos valores. Vamos calcular alguns termos para identificar um padrão:
  • Para n = 1: cos(pi2) = 0
  • Para n = 2: cos(pi) = -1
  • Para n = 3: cos(3pi2) = 0
  • Para n = 4: cos(2pi) = 1
  • Para n = 5: cos(5pi2) = 0
  • E assim por diante.
Vejo que os termos da série alternam entre 0, -1, 0, 1, etc. Então, a série se comporta assim: 0 -1 + 0 +1 -1 +0 +1 -0 -1 + dots

Passo 3

Agora que identificamos o padrão, vamos verificar se essa série converge. Uma das maneiras de testar a convergência é verificar se o limite dos termos da série tende a zero quando n vai para o infinito. Se o limite não for zero, a série definitivamente não converge.
Calculando o limite:
limn to infty cos(n pi2)
Perceba que, conforme n aumenta, n pi2 aumenta sem limite, e o cosseno de um ângulo que cresce indefinidamente não tem um valor único para onde tende. Em vez disso, ele continua oscilando entre -1, 0 e 1.

Passo 4

Já que o limite dos termos não existe ou não é zero, isso significa, pelo Teste da Divergência (ou teste do termo geral), que a série sum cos(n pi2) não converge.

Resposta

A série sum cos(n pi2) não converge.

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