Sejam
e
séries de termos positivos e convergentes, avaliar se são convergentes as seguintes séries, justifique
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem duas séries:
e
, onde todos os termos são positivos e as duas séries são convergentes. A pergunta é: a série
também converge? Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries numéricas, especificamente as regras de convergência de séries. Vamos precisar entender como somar duas séries convergentes e verificar se a soma também é convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser convergente. Uma série
converge se a soma dos seus termos chega a um limite finito quando a gente soma infinitos termos. Como
e
são convergentes, isso significa que elas têm limites finitos.
Passo 3
Agora, vamos pensar na série
. Podemos separar essa soma em duas séries:
. Isso é permitido porque a soma de séries converge se cada uma das séries individuais converge.
Passo 4
Como sabemos que
converge para algum limite
e
converge para algum limite
, a soma das duas séries vai convergir para
. Ou seja,
também é convergente.
Resposta
A série
é convergente.