Sejam sum an e sum bn séries de termos positivos e convergentes, avaliar se são convergentes as seguintes séries, justifique
sum(an+bn)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem duas séries: sum an e sum bn, onde todos os termos são positivos e as duas séries são convergentes. A pergunta é: a série sum(an+bn) também converge? Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries numéricas, especificamente as regras de convergência de séries. Vamos precisar entender como somar duas séries convergentes e verificar se a soma também é convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser convergente. Uma série sum cn converge se a soma dos seus termos chega a um limite finito quando a gente soma infinitos termos. Como sum an e sum bn são convergentes, isso significa que elas têm limites finitos.

Passo 3

Agora, vamos pensar na série sum(an+bn). Podemos separar essa soma em duas séries: sum an + sum bn. Isso é permitido porque a soma de séries converge se cada uma das séries individuais converge.

Passo 4

Como sabemos que sum an converge para algum limite A e sum bn converge para algum limite B, a soma das duas séries vai convergir para A + B. Ou seja, sum(an+bn) = sum an + sum bn também é convergente.

Resposta

A série sum(an+bn) é convergente.

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