Verificar a convergência das séries
sum sen raiznn^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a série e precisamos verificar se ela converge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas na matemática, uma parte importante do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série em questão: . Aqui, cada termo da série é dado por . Queremos saber se a soma de todos esses termos tende a um número finito quando vai para infinito.

Passo 3

Vamos lembrar de um teste de convergência que pode ser útil aqui: o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a série que estamos estudando com outra série conhecida que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 4

Sabemos que para qualquer valor de |sen(raizn)n^2| <= 1n^2 . Portanto, . Isso significa que:

Passo 5

Agora, consideramos a série . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Portanto, converge.

Passo 6

Como os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos da série e esta última converge, podemos concluir pelo Teste da Comparação que a série também converge.

Resposta

A série converge.

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