O enunciado pede pra verificar a convergência da série . O conteúdo aqui é teste de convergência de séries pela comparação e convergência absoluta. Vamos precisar usar desigualdade triangular e comparação com uma p-série.
Passo 2
Vamos olhar o valor absoluto do termo geral: Usando desigualdade triangular e o fato de |cos n|<=1, |senn|<=1, temos
|an|<=|cos n|+|senn|n,raiz[3]n+5<=2n,raiz[3]n+5
Passo 3
Note que para n>=1 vale raiz[3]n+5>=raiz[3]n. Logo
n,raiz[3]n+5>= n,raiz[3]n=n^4/3, e assim
|an|<=2n^4/3
Passo 4
Como sumn=1^infty 2n^4/3 é uma p-série com p=4/3>1, ela converge. Portanto sum|an| converge, o que implica que a série original converge absolutamente e, consequentemente, converge.
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.