Sejam \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} séries convergentes de termos positivos, com a_{n}<b_{n}. Prove que \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}<\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • São séries com termos positivos: \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}.
  • As duas séries convergem (cada uma tem soma finita).
  • Para todo n vale \,a_{n}<b_{n}\,.
O que devemos provar é:
  • Mostrar que \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}<\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}.

Passo 2

Definimos as somas parciais das duas séries:
A_N=\sum_{n=1}^{N} a_n,\qquad B_N=\sum_{n=1}^{N} b_n.
Explico por que isso é útil: trabalhar com somas parciais transforma o problema de séries em um problema sobre sequências de números (as sequências (A_N) e (B_N)). Como os termos a_n e b_n são positivos, as sequências (A_N) e (B_N) são monotonicamente crescentes (cada nova soma parcial adiciona um número positivo).

Passo 3

Mostro que as somas parciais mantêm a desigualdade termo a termo. Para qualquer N,
A_N=\sum_{n=1}^{N} a_n \quad\text{e}\quad B_N=\sum_{n=1}^{N} b_n.
Como para todo n temos a_n<b_n, ao somar as N desigualdades termo a termo obtemos
A_N=\sum_{n=1}^{N} a_n < \sum_{n=1}^{N} b_n = B_N.
Portanto, para todo N vale A_N<B_N.

Passo 4

Como as séries \sum a_n e \sum b_n convergem, as sequências de somas parciais têm limites finitos:
A=\lim_{N\to\infty} A_N = \sum_{n=1}^{\infty} a_n,\qquad B=\lim_{N\to\infty} B_N = \sum_{n=1}^{\infty} b_n.
Queremos comparar A e B. A partir de A_N<B_N para todo N, sabemos imediatamente que \limsup A_N \le \liminf B_N, o que dá A\le B. Mas precisamos de desigualdade estrita A<B; para isso consideramos a série das diferenças.

Passo 5

Definimos os termos das diferenças e as somas parciais dessas diferenças:
c_n = b_n - a_n,\qquad C_N=\sum_{n=1}^{N} c_n = B_N - A_N.
Cada c_n é positivo porque a_n<b_n. Assim (C_N) é uma sequência crescente de números positivos e, como C_N=B_N-A_N e tanto (B_N) quanto (A_N) convergem, (C_N) também converge para um número finito
C=\lim_{N\to\infty} C_N = B-A.
Observe algo simples e crucial: C_1=c_1=b_1-a_1>0 (porque a desigualdade vale para n=1). Como (C_N) é crescente e C_1>0, segue que para todo N tem C_N\ge C_1>0. Tomando limite quando N\to\infty obtemos
C=\lim_{N\to\infty} C_N \ge C_1 > 0.
Portanto C>0.

Passo 6

Da definição de C temos C=B-A. Como acabamos de mostrar C>0, segue que
B-A>0 \quad\Longrightarrow\quad A<B.
Isto é exatamente o que queríamos provar: a soma da série com os termos menores é estritamente menor que a soma da série com os termos maiores.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}<\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}

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