Sejam
e
séries convergentes de termos positivos, com
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- São séries com termos positivos:
e . - As duas séries convergem (cada uma tem soma finita).
- Para todo
vale .
O que devemos provar é:
- Mostrar que
.
Passo 2
Definimos as somas parciais das duas séries:
Explico por que isso é útil: trabalhar com somas parciais transforma o problema de séries em um problema sobre sequências de números (as sequências
e
). Como os termos
e
são positivos, as sequências
e
são monotonicamente crescentes (cada nova soma parcial adiciona um número positivo).
Passo 3
Mostro que as somas parciais mantêm a desigualdade termo a termo. Para qualquer
,
Como para todo
temos
, ao somar as
desigualdades termo a termo obtemos
Portanto, para todo
vale
.
Passo 4
Como as séries
e
convergem, as sequências de somas parciais têm limites finitos:
Queremos comparar
e
. A partir de
para todo
, sabemos imediatamente que
, o que dá
. Mas precisamos de desigualdade estrita
; para isso consideramos a série das diferenças.
Passo 5
Definimos os termos das diferenças e as somas parciais dessas diferenças:
Cada
é positivo porque
. Assim
é uma sequência crescente de números positivos e, como
e tanto
quanto
convergem,
também converge para um número finito
Observe algo simples e crucial:
(porque a desigualdade vale para
). Como
é crescente e
, segue que para todo
tem
. Tomando limite quando
obtemos
Portanto
.
Passo 6
Da definição de
temos
. Como acabamos de mostrar
, segue que
Isto é exatamente o que queríamos provar: a soma da série com os termos menores é estritamente menor que a soma da série com os termos maiores.