Resolva as EDOs de 1a Ordem abaixo:
d yd x+yx=x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de 1ª ordem linear dydx + yx = x^2. O conteúdo envolvido é EDO linear de coeficientes em função de x, e vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos que a EDO tem a forma y' + P(x)y = Q(x) com P(x)=1/x. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 1xdx = e^ln|x| = |x|
Para simplificar, assumimos x>0 e tomamos mu(x)=x.

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por mu(x)=x:
xdydx + y = x^3
Repare que o lado esquerdo é a derivada do produto x,y:
ddx(x,y) = x^3

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(x,y),dx = integral x^3,dx
Isso dá
x,y = x^44 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, isolamos y:
y(x) = 1xl(x^44 + Cr) = x^34 + Cx

Resposta

y(x) = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}

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