De acordo com os resultados vistos em sala de aula, podemos afirmar que, dada uma transformação linear
, então
é injetora? Qual condição adicional teríamos que ter para garantir que
é sobrejetora?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e informa que
. Pergunta 1: podemos afirmar que
é injetora? Pergunta 2: qual condição adicional precisamos ter para garantir que
seja sobrejetora? Informações relevantes:
é linear; o núcleo (kernel) de
é apenas o vetor nulo de
.
Passo 2
Primeiro precisamos entender bem as definições envolvidas, devagarinho e com exemplos simples.
Definição de núcleo: . Ou seja, são todos os vetores de
que vão para o vetor nulo em
.
Definição de injetividade: é injetora se, para quaisquer
,
implica
. Outra forma equivalente:
. Vou usar essa forma para provar coisas.
Definição de núcleo:
Definição de injetividade:
Explicação da equivalência básica (em palavras): se só o vetor nulo vai para
, então a única maneira de
ocorrer é quando
, ou seja,
. Isso mostra a ligação íntima entre núcleo trivial e injetividade.
Passo 3
Agora a prova direta e passo a passo de que
implica que
é injetora.
- Suponha
. - Tome
tais que . - Pela linearidade de
temos . - Logo
. Mas por hipótese , então . - Portanto
. Isso mostra que é injetora.
Também vale a recíproca (breve justificativa): se
é injetora e
, então como
e
, pela injetividade
. Assim
. Conclusão: para transformações lineares,
é injetora
.
Passo 4
Agora: e a sobrejetividade? Definição de sobrejetora:
é sobrejetora se
, isto é, todo
é
para algum
. Ter
nos dá injetividade, mas sozinho isso não garante que a imagem seja todo
. Precisamos de informação adicional sobre as dimensões dos espaços.
Apresento a ferramenta que resolve isso de forma clara: o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagens / rank-nullity). Para espaços vetoriais de dimensão finita, ele diz:
Aqui
é a dimensão do núcleo e
é o posto (rank) de
.
Passo 5
Use o teorema para obter a condição prática:
- Se
e são finitas e sabemos que , então . - Aplicando rank-nullity:
- Se além disso
, então . Mas como é subespaço de com a mesma dimensão de , necessariamente . Logo é sobrejetora.
Portanto a condição adicional que garante sobrejetividade é que os espaços sejam de dimensão finita e que
Nesse caso, injetividade implica automaticamente sobrejetividade (e vice-versa):
é um isomorfismo linear entre
e
.
Passo 6
Para fixar a intuição, dois exemplos curtinhos:
-
Contraponto (injeção sem sobrejeção): a inclusão
dada por é linear e tem (logo é injetora), mas não é sobrejetora porque vetores como não estão na imagem. Aqui e , então falta a igualdade das dimensões. -
Caso positivo (bijeção): uma matriz quadrada invertível
define . Se então e como segue que é sobrejetora; é invertível e é isomorfismo.
Resposta
Sim.
é injetora porque
implica que
só ocorre quando
.
Condição adicional: se e
são finito-dimensionais e
, então
implica
, ou seja,
é sobrejetora.
Condição adicional: se