De acordo com os resultados vistos em sala de aula, podemos afirmar que, dada uma transformação linear T: V \rightarrow W \operatorname{com} \operatorname{ker}(T)=\left\{0_{V}\right\}, então T é injetora? Qual condição adicional teríamos que ter para garantir que T é sobrejetora?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: V \to W e informa que \ker(T)=\{0_{V}\}. Pergunta 1: podemos afirmar que T é injetora? Pergunta 2: qual condição adicional precisamos ter para garantir que T seja sobrejetora? Informações relevantes: T é linear; o núcleo (kernel) de T é apenas o vetor nulo de V.

Passo 2

Primeiro precisamos entender bem as definições envolvidas, devagarinho e com exemplos simples.
Definição de núcleo: \ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0_{W}\}. Ou seja, são todos os vetores de V que vão para o vetor nulo em W.
Definição de injetividade: T é injetora se, para quaisquer u,v\in V, T(u)=T(v) implica u=v. Outra forma equivalente: T(u)=T(v) \Leftrightarrow u-v\in\ker(T). Vou usar essa forma para provar coisas.
Explicação da equivalência básica (em palavras): se só o vetor nulo vai para 0_{W}, então a única maneira de T(u)=T(v) ocorrer é quando u-v=0, ou seja, u=v. Isso mostra a ligação íntima entre núcleo trivial e injetividade.

Passo 3

Agora a prova direta e passo a passo de que \ker(T)=\{0_{V}\} implica que T é injetora.
  1. Suponha \ker(T)=\{0_{V}\}.
  2. Tome u,v\in V tais que T(u)=T(v).
  3. Pela linearidade de T temos T(u)-T(v)=T(u-v)=0_{W}.
  4. Logo u-v\in\ker(T). Mas por hipótese \ker(T)=\{0_{V}\}, então u-v=0_{V}.
  5. Portanto u=v. Isso mostra que T é injetora.
Também vale a recíproca (breve justificativa): se T é injetora e T(v)=0_{W}, então como T(0_{V})=0_{W} e T(v)=T(0_{V}), pela injetividade v=0_{V}. Assim \ker(T)=\{0_{V}\}. Conclusão: para transformações lineares, T é injetora \Leftrightarrow \ker(T)=\{0\}.

Passo 4

Agora: e a sobrejetividade? Definição de sobrejetora: T é sobrejetora se \operatorname{im}(T)=W, isto é, todo w\in W é w=T(v) para algum v\in V. Ter \ker(T)=\{0\} nos dá injetividade, mas sozinho isso não garante que a imagem seja todo W. Precisamos de informação adicional sobre as dimensões dos espaços.
Apresento a ferramenta que resolve isso de forma clara: o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagens / rank-nullity). Para espaços vetoriais de dimensão finita, ele diz:
\dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{im}(T)).
Aqui \dim(\ker(T)) é a dimensão do núcleo e \dim(\operatorname{im}(T)) é o posto (rank) de T.

Passo 5

Use o teorema para obter a condição prática:
  1. Se \dim V e \dim W são finitas e sabemos que \ker(T)=\{0\}, então \dim(\ker(T))=0.
  2. Aplicando rank-nullity:
\dim(V)=0+\dim(\operatorname{im}(T)) \quad\Rightarrow\quad \dim(\operatorname{im}(T))=\dim(V).
  1. Se além disso \dim(V)=\dim(W), então \dim(\operatorname{im}(T))=\dim(W). Mas como \operatorname{im}(T) é subespaço de W com a mesma dimensão de W, necessariamente \operatorname{im}(T)=W. Logo T é sobrejetora.
Portanto a condição adicional que garante sobrejetividade é que os espaços sejam de dimensão finita e que
\dim(V)=\dim(W).
Nesse caso, injetividade implica automaticamente sobrejetividade (e vice-versa): T é um isomorfismo linear entre V e W.

Passo 6

Para fixar a intuição, dois exemplos curtinhos:
  • Contraponto (injeção sem sobrejeção): a inclusão T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 dada por T(x,y)=(x,y,0) é linear e tem \ker(T)=\{0\} (logo é injetora), mas não é sobrejetora porque vetores como (0,0,1) não estão na imagem. Aqui \dim V=2 e \dim W=3, então falta a igualdade das dimensões.
  • Caso positivo (bijeção): uma matriz quadrada invertível A\in\mathbb{R}^{n\times n} define T(x)=Ax. Se \ker(T)=\{0\} então \dim(\operatorname{im}(T))=n e como \dim W=n segue que T é sobrejetora; A é invertível e T é isomorfismo.

Resposta

Sim. T é injetora porque \ker(T)=\{0_V\} implica que T(u)=T(v) só ocorre quando u=v.
Condição adicional: se V e W são finito-dimensionais e \dim(V)=\dim(W), então \ker(T)=\{0\} implica \operatorname{im}(T)=W, ou seja, T é sobrejetora.

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