Seja
um espaço vetorial que é gerado por sete vetores, então o que você pode afirmar com relação à dimensão de
?. E estes sete vetores são linearmente dependentes?.
Passo 1
O enunciado diz que
é gerado por sete vetores, i.e., existe um conjunto
com
e
. O assunto aqui é dimensão de espaço vetorial e relação entre tamanho de conjunto gerador e independência linear.
Passo 2
Teorema fundamental: se um espaço vetorial
admite um conjunto gerador com
vetores, então
Isto decorre de que toda base de
tem exatamente
vetores e, para gerar
, um conjunto não pode ter menos de
vetores.
Passo 3
Aplicando com
, concluímos
Passo 4
Sobre dependência linear:
- Qualquer conjunto de vetores com mais de
elementos é necessariamente linearmente dependente. - Se um conjunto gerador tiver exatamente
elementos, então ele é uma base e, portanto, é linearmente independente.
Passo 5
No nosso caso, temos sete vetores:
- Se
, então implica que esses sete vetores são linearmente dependentes. - Se
, então esses sete vetores formam uma base e, logo, são linearmente independentes.
Resposta
A dimensão de
satisfaz
Quanto à independência linear dos sete vetores geradores:
- são linearmente dependentes se
; - são linearmente independentes (isto é, formam base) se
.