Seja V um espaço vetorial que é gerado por sete vetores, então o que você pode afirmar com relação à dimensão de V ?. E estes sete vetores são linearmente dependentes?.

Passo 1

O enunciado diz que V é gerado por sete vetores, i.e., existe um conjunto Gsubset V com #G=7 e span(G)=V. O assunto aqui é dimensão de espaço vetorial e relação entre tamanho de conjunto gerador e independência linear.

Passo 2

Teorema fundamental: se um espaço vetorial V admite um conjunto gerador com n vetores, então
dim(V)<= n
Isto decorre de que toda base de V tem exatamente dim(V) vetores e, para gerar V, um conjunto não pode ter menos de dim(V) vetores.

Passo 3

Aplicando com n=7, concluímos
dim(V)<= 7

Passo 4

Sobre dependência linear:
  • Qualquer conjunto de vetores com mais de dim(V) elementos é necessariamente linearmente dependente.
  • Se um conjunto gerador tiver exatamente dim(V) elementos, então ele é uma base e, portanto, é linearmente independente.

Passo 5

No nosso caso, temos sete vetores:
  • Se dim(V)<7, então 7>dim(V) implica que esses sete vetores são linearmente dependentes.
  • Se dim(V)=7, então esses sete vetores formam uma base e, logo, são linearmente independentes.

Resposta

A dimensão de V satisfaz
dim(V)<= 7
Quanto à independência linear dos sete vetores geradores:
  • são linearmente dependentes se dim(V)<7;
  • são linearmente independentes (isto é, formam base) se dim(V)=7.

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