Sejam
e
transformações lineares.
(a) Provar que
não é invertível.
(b) Achar um exemplo em que
não é invertível e um outro em ane
o
é invertível
(a) Provar que
(b) Achar um exemplo em que
Passo 1
O enunciado define duas transformações lineares
e
.
Em (a) precisamos provar que
Em (a) precisamos provar que
não é invertível.
Em (b), dar um exemplo em que
Em (b), dar um exemplo em que
não seja invertível e outro em que
seja invertível.
Passo 2
Usamos o Teorema da Dimensão (rank–nullity) em
. Como
e
, toda aplicação linear
satisfaz
Como
, segue
, ou seja,
não é injetiva.
Isso implica que também não é injetiva (se
então
), e portanto não pode ser bijetiva.
Concluímos que não é invertível.
Isso implica que
Concluímos que
Passo 3
Exemplo em que
não é invertível. Definimos
Então
que é a aplicação zero em
. Essa aplicação não é injetiva nem sobrejetiva, logo não é invertível.
Passo 4
Exemplo em que
é invertível. Definimos
Então para todo
temos
ou seja,
, que é claramente invertível (sua inversa é ele próprio).
Resposta
(a)
não é invertível, pois
tem núcleo não trivial.
(b) Um exemplo de não invertível é
(b) Um exemplo de
e um exemplo de
invertível é