Sejam T R^3 R^2 e S: R^2 R^3 transformações lineares.
(a) Provar que S circ T não é invertível.
(b) Achar um exemplo em que T circ S não é invertível e um outro em ane T o S é invertível

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares
Tcolon R^3toR^2 e Scolon R^2toR^3.
Em (a) precisamos provar que
Scirc Tcolon R^3toR^3
não é invertível.
Em (b), dar um exemplo em que
Tcirc Scolon R^2toR^2
não seja invertível e outro em que Tcirc S seja invertível.

Passo 2

Usamos o Teorema da Dimensão (rank–nullity) em T. Como
dimR^3=3 e dimR^2=2, toda aplicação linear
TcolonR^3toR^2 satisfaz
dimker T + dimimT = 3
Como dimimT <= 2, segue
dimker T >= 1, ou seja, T não é injetiva.
Isso implica que Scirc T também não é injetiva (se T(v)=0 então
(Scirc T)(v)=S(0)=0), e portanto não pode ser bijetiva.
Concluímos que Scirc T não é invertível.

Passo 3

Exemplo em que Tcirc S não é invertível. Definimos
T(x,y,z) = (x,0), S(u,v) = (0,u,0)
Então
Tcirc S(u,v) = Tl(0,u,0r) = (0,0),
que é a aplicação zero em R^2. Essa aplicação não é injetiva nem sobrejetiva, logo não é invertível.

Passo 4

Exemplo em que Tcirc S é invertível. Definimos
T(x,y,z) = (x,y), S(u,v) = (u,v,0)
Então para todo (u,v)inR^2 temos
Tcirc S(u,v) = Tl(u,v,0r) = (u,v),
ou seja, Tcirc S = IdR^2, que é claramente invertível (sua inversa é ele próprio).

Resposta

(a) Scirc T não é invertível, pois T tem núcleo não trivial.
(b) Um exemplo de Tcirc S não invertível é
T(x,y,z)=(x,0), S(u,v)=(0,u,0),
e um exemplo de Tcirc S invertível é
T(x,y,z)=(x,y), S(u,v)=(u,v,0)

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