Sejam
e
transformações lineares.
(a) Provar que
não é invertível.
(b) Achar um exemplo em
não é invertível.
(a) Provar que
(b) Achar um exemplo em
Passo 1
Temos duas transformações lineares
e
.
Queremos estudar a invertibilidade das composições e
.
Usaremos o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem) e o critério de invertibilidade via injeção.
Queremos estudar a invertibilidade das composições
Usaremos o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem) e o critério de invertibilidade via injeção.
Passo 2
Para
, note que
e
.
Pelo Teorema da Dimensão aplicado a vale
Pelo Teorema da Dimensão aplicado a
mas
, logo
.
Isto garante que existe tal que
. Então
Isto garante que existe
com
, ou seja
. Como uma aplicação linear só é invertível se for injetora, concluímos que
não é invertível.
Passo 3
Para exibir um caso em que
também falha em ser invertível, basta escolher definições simples. Por exemplo, defina
Então
Aqui
, o que impede injeção. Logo
não é invertível neste exemplo.
Resposta
(a)
não é invertível porque
.
(b) Por exemplo, com
e
temos
, logo
não é invertível.
(b) Por exemplo, com