Sejam T: R^3 R^2 e S: R^2 R^3 transformações lineares.
(a) Provar que S circ T não é invertível.
(b) Achar um exemplo em T circ S não é invertível.

Passo 1

Temos duas transformações lineares
TcolonR^3toR^2 e ScolonR^2toR^3.
Queremos estudar a invertibilidade das composições Scirc TcolonR^3toR^3 e Tcirc ScolonR^2toR^2.
Usaremos o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem) e o critério de invertibilidade via injeção.

Passo 2

Para Scirc T, note que
dimR^3=3 e dimR^2=2.
Pelo Teorema da Dimensão aplicado a T vale
dimker T + dimImT = 3,
mas dimImT<=2, logo dimker T>=1.
Isto garante que existe vneq0 tal que T(v)=0. Então
(Scirc T)(v)=Sl(T(v)r)=S(0)=0,
com vneq0, ou seja ker(Scirc T)neq0. Como uma aplicação linear só é invertível se for injetora, concluímos que Scirc T não é invertível.

Passo 3

Para exibir um caso em que Tcirc S também falha em ser invertível, basta escolher definições simples. Por exemplo, defina
T(x,y,z)=(x,y),
S(u,v)=(u,0,v)
Então
(Tcirc S)(u,v)=Tl(u,0,vr)=(u,0)
Aqui ker(Tcirc S)=(0,v)mid vinRneq0, o que impede injeção. Logo Tcirc S não é invertível neste exemplo.

Resposta

(a) Scirc T não é invertível porque ker(Scirc T)neq0.
(b) Por exemplo, com
T(x,y,z)=(x,y) e S(u,v)=(u,0,v) temos
ker(Tcirc S)neq0, logo Tcirc S não é invertível.

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