Sejam x, y, z in R tais que x >= y e z neq 0. Diga se cada item a seguir é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta:
[0,5] raizx^2+y^2 >=|x|.

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos números reais 0,5 raizx^2 + y^2 >= |x| tais que e . Precisamos verificar se a seguinte desigualdade é verdadeira ou falsa:
Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos sobre desigualdades, valor absoluto e propriedades de expressões envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a desigualdade para facilitar a análise. Podemos multiplicar ambos os lados por 2 (já que raizx^2 + y^2 >= 2|x| é o mesmo que ) para eliminar o coeficiente:

Passo 3

Sabemos que raizx^2 + 0 = |x| representa a distância do ponto |x| >= 2|x| à origem no plano cartesiano, e é o valor absoluto de .
Para verificar a validade da desigualdade, consideremos um caso específico onde . Assim:
Substituindo na desigualdade:

Passo 4

A desigualdade só é verdadeira se , ou seja, se . Para quaisquer outros valores de diferentes de zero, a desigualdade não se sustenta, já que é falso.

Resposta

Falso. A desigualdade não é verdadeira para todos os valores de e . Por exemplo, quando e , a desigualdade não se mantém.

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