Sejam
tais que
e
. Diga se cada item a seguir é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos números reais
tais que
e
. Precisamos verificar se a seguinte desigualdade é verdadeira ou falsa:
Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos sobre desigualdades, valor absoluto e propriedades de expressões envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a desigualdade para facilitar a análise. Podemos multiplicar ambos os lados por 2 (já que
é o mesmo que
) para eliminar o coeficiente:
Passo 3
Sabemos que
representa a distância do ponto
à origem no plano cartesiano, e
é o valor absoluto de
.
Para verificar a validade da desigualdade, consideremos um caso específico onde
. Assim:
Substituindo na desigualdade:
Passo 4
A desigualdade
só é verdadeira se
, ou seja, se
. Para quaisquer outros valores de
diferentes de zero, a desigualdade não se sustenta, já que
é falso.
Resposta
Falso. A desigualdade não é verdadeira para todos os valores de
e
. Por exemplo, quando
e
, a desigualdade não se mantém.