Verifique se pontos abaixo podem ser vértices de um triângulo.
A=(3,2,1), B=(2,3,0) e C=(2,2,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos
A = ( 3,2, 1), B = ( 2,3, 0) e C = ( 2,2, 1) podem ser vértices de um triângulo.
Em geometria no espaço, três pontos formam triângulo se, e somente se, não forem colineares. Para testar colinearidade, basta verificar se os vetores AB e AC são proporcionais ou, alternativamente, se o produto vetorial ABtimesAC é o vetor nulo.

Passo 2

Calculemos os vetores
AB = B - A = (2-3,;3-2,;0-1) = (-1,;1,;-1),
AC = C - A = (2-3,;2-2,;1-1) = (-1,;0,;0)

Passo 3

Agora, vamos ao produto vetorial
ABtimesAC = i & j & k -1 & 1 & -1 -1 & 0 & 0 = i(1cdot 0 - (-1)cdot 0) -j((-1)cdot 0 - (-1)cdot(-1)) +k((-1)cdot 0 - 1cdot(-1))
ABtimesAC = 0,i -(-1),j + 1,k = (0,;1,;1),
que é diferente do vetor nulo. Como ABtimesACneq (0,0,0), os vetores não são proporcionais e, portanto, A, B e C não são colineares.

Resposta

Sim. Os pontos A, B e C não são colineares, logo podem ser vértices de um triângulo.

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