Sejam u=(1,2) e v=(3,1). Caso exista, encontre os ângulos (caso não exista, justifique) entre
P=(1,-1) e u

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo entre os vetores vec P=(1,-1) e vec u=(1,2). Vamos usar o conteúdo de produto escalar e norma de vetores em R^2 e a fórmula do cosseno do ângulo: costheta=dfracvec acdotvec b|vec a|,|vec b|.

Passo 2

Primeiro, calculamos o produto escalar entre vec P e vec u:
vec Pcdotvec u=(1)(1)+(-1)(2)=1-2=-1

Passo 3

Em seguida, determinamos as normas de cada vetor:
|vec P|=raiz1^2+(-1)^2=raiz2, |vec u|=raiz1^2+2^2=raiz5

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do cosseno:
costheta=vec Pcdotvec u|vec P|,|vec u|=-1raiz2,raiz5=-1raiz10

Passo 5

Por fim, obtemos o ângulo usando a função arco cosseno. Como o cosseno é negativo, o ângulo é obtuso:
theta=arccosl(-1raiz10r)approx108,43^circ

Resposta

theta=arccosl(-tfrac1raiz10r)approx108,43^circ

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