Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a transformação linear F: R^2toR^2 definida por F(x,y)=alpha (x,y), isto é, é a multiplicação escalar por alpha. O que precisamos encontrar: núcleo (ker), imagem (im), matriz associada e, quando existir, a inversa dessa matriz (ou seja, condições sobre alpha para inversibilidade).

Passo 2

Para calcular o núcleo e a imagem, lembramos que o núcleo é o conjunto de vetores (x,y) tais que F(x,y)=(0,0). Como F(x,y)=(alpha x,alpha y), temos o sistema
alpha x = 0, alpha y = 0
Se alpha neq 0, a única solução é x=y=0, então
ker(F)=(0,0)
Se alpha=0, qualquer (x,y) satisfaz o sistema, então
ker(F)=R^2
Para a imagem, lembramos que im(F)=F(x,y)mid(x,y)inR^2. Se alphaneq0, qualquer (u,v)inR^2 é (u,v)=F(u/alpha,v/alpha), logo
im(F)=R^2
Se alpha=0, então F(x,y)=(0,0) para todo (x,y), logo
im(F)=(0,0)

Passo 3

Para a matriz de F no padrão canônico, como F(x,y)=alpha x,e1+alpha y,e2, temos
M= alpha & 0 0 & alpha =alpha I2
Esta matriz é invertível se, e somente se, det(M)=alpha^2neq0, ou seja, alphaneq0. Nesse caso, a inversa é
M^-1=1alphaI2=1/alpha & 0 0 & 1/alpha

Resposta

ker(F)=(0,0) se alphaneq0, e ker(F)=R^2 se alpha=0.
im(F)=R^2 se alphaneq0, e im(F)=(0,0) se alpha=0.
Matriz de transformação: M=alpha&00&alpha.
M é invertível exatamente quando alphaneq0, com M^-1=1/alpha&00&1/alpha.

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