Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a transformação linear F: definida por , isto é, é a multiplicação escalar por . O que precisamos encontrar: núcleo (ker), imagem (im), matriz associada e, quando existir, a inversa dessa matriz (ou seja, condições sobre para inversibilidade).
Passo 2
Para calcular o núcleo e a imagem, lembramos que o núcleo é o conjunto de vetores tais que . Como , temos o sistema
Se , a única solução é , então
Se , qualquer satisfaz o sistema, então
Para a imagem, lembramos que . Se , qualquer é , logo
Se , então para todo , logo
Passo 3
Para a matriz de no padrão canônico, como , temos
Esta matriz é invertível se, e somente se, det(M)=alpha^2neq0, ou seja, alphaneq0. Nesse caso, a inversa é
M^-1=1alphaI2=1/alpha & 0 0 & 1/alpha
Resposta
ker(F)=(0,0) se alphaneq0, e ker(F)=R^2 se alpha=0. im(F)=R^2 se alphaneq0, e im(F)=(0,0) se alpha=0.
Matriz de transformação: M=alpha&00&alpha. M é invertível exatamente quando alphaneq0, com M^-1=1/alpha&00&1/alpha.