Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear
dada por
, encontrarmos o núcleo (kernel), a imagem (image), a matriz que representa
na base canônica e, finalmente, verificar se
é inversível e, em caso afirmativo, achar
.
Conteúdo: transformações lineares em , especialmente núcleo, imagem, matriz associada e inversibilidade.
Conteúdo: transformações lineares em
Passo 2
Para achar a matriz de
, vemos o efeito em
e
:
Logo, na base canônica, a matriz é
Logo, na base canônica, a matriz é
Passo 3
O núcleo de
é o conjunto de
tais que
. Em termos da matriz, resolvemos
isto é,
Portanto
Passo 4
A imagem de
é o subespaço gerado pelas colunas de
, isto é, pelos vetores
e
. Como esses dois vetores são linearmente independentes em
, eles formam uma base de
. Logo,
Passo 5
Como
e
,
é bijetiva e, portanto, inversível. Calculando
vemos que
. Assim,
i.e. a própria transformação
é sua inversa.
Resposta
Matriz na base canônica:
Como
, a inversa é
.