Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear F: R^2toR^2 dada por (x,y)mapsto(-y,-x), encontrarmos o núcleo (kernel), a imagem (image), a matriz que representa F na base canônica e, finalmente, verificar se F é inversível e, em caso afirmativo, achar F^-1.
Conteúdo: transformações lineares em R^n, especialmente núcleo, imagem, matriz associada e inversibilidade.

Passo 2

Para achar a matriz de F, vemos o efeito em e1=(1,0) e e2=(0,1):
F(e1)=F(1,0)=(-0,-1)=(0,-1)
F(e2)=F(0,1)=(-1,-0)=(-1,0)
Logo, na base canônica, a matriz é
A=0 & -1 -1 & 0

Passo 3

O núcleo de F é o conjunto de (x,y) tais que F(x,y)=(0,0). Em termos da matriz, resolvemos
isto é,
Axy=eginpmatrix00,
Portanto
0cdot x+(-1)cdot y=0(-1)cdot x+0cdot y=0 Longrightarrow x=0, y=0

Passo 4

A imagem de F é o subespaço gerado pelas colunas de A, isto é, pelos vetores (0,-1) e (-1,0). Como esses dois vetores são linearmente independentes em R^2, eles formam uma base de R^2. Logo,
Im(F)=R^2

Passo 5

Como ker(F)=0 e dim(Im(F))=2=dim(R^2), F é bijetiva e, portanto, inversível. Calculando
A^2=0 & -1 -1 & 0^2=1 & 00 & 1=I,
vemos que A^-1=A. Assim,
F^-1(x,y)=(-y,-x),
i.e. a própria transformação F é sua inversa.

Resposta

ker(F)=(0,0), Im(F)=R^2
Matriz na base canônica:
A=0 & -1 -1 & 0
Como A^-1=A, a inversa é
F^-1(x,y)=(-y,-x).

Exercícios relacionados