(1,0) Sejam u e v dois números complexos tais que u^{2}-v^{2}=6 e \bar{u}+\bar{v}=1-i. Calcule u-v.

Passo 1

O enunciado pede para calcular u-v sabendo que:
  • u^{2}-v^{2}=6.
  • \bar{u}+\bar{v}=1-i.
Ou seja, a pergunta é: qual é o valor de u-v usando essas duas informações?

Passo 2

Primeiro vamos transformar a informação sobre conjugados em algo com u e v (não conjugados). Tomando o conjugado da igualdade \bar{u}+\bar{v}=1-i obtém-se uma igualdade com u e v, porque a conjugação satisfaz \overline{\bar{z}}=z e \overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}. Assim:
\overline{\bar{u}+\bar{v}}=\overline{1-i}
Logo
u+v=1+i.
Comentário didático: pegar conjugado em ambos os lados troca \bar{u} por u e troca 1-i por 1+i.

Passo 3

Agora use a fatoração da diferença de quadrados para relacionar u^{2}-v^{2} com u-v e u+v. A identidade é:
u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v).
Esta identidade vale para números complexos do mesmo jeito que vale para números reais — é só a expansão (u-v)(u+v)=u^{2}-v^{2}.

Passo 4

Substitua u^{2}-v^{2}=6 e u+v=1+i na identidade acima:
6=(u-v)(u+v)=(u-v)(1+i).
Queremos u-v, então isolamos:
u-v=\frac{6}{1+i}.
Observação: isto é válido porque 1+i\neq0 (o número 1+i tem módulo \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}, diferente de zero), então podemos dividir por ele sem problema.

Passo 5

Agora calculamos a divisão por um número complexo sem calculadora: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador para tornar o denominador real. Assim,
\frac{6}{1+i}=\frac{6(1-i)}{(1+i)(1-i)}.
Calcule o denominador usando (1+i)(1-i)=1^{2}-i^{2}=1-(-1)=2. Então
\frac{6(1-i)}{2}=3(1-i)=3-3i.
Explicação didática: multiplicar por 1-i elimina a parte imaginária no denominador porque (1+i)(1-i) é a diferença de quadrados e resulta no quadrado do módulo de 1+i, que é 2.

Passo 6

Portanto obtemos
u-v=3-3i.
Pequena motivação final: todas as etapas usaram só propriedades básicas de conjugado, fatoração e manipulação de números complexos — técnicas que caem direto na prova e que são rápidas de aplicar.

Resposta

3-3i

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