Em cada questão, calcule pela definição a derivada de f(x) no ponto dado:
f(x)=log x, em x=3,16

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar a derivada de f(x)= log x em x=3,16 usando a definição de derivada, que envolve limite de quociente de diferenças.

Passo 2

A definição de derivada em um ponto a é
f'(a)=limhto0 f(a+h)-f(a)h
Aqui vamos usar essa expressão com f(x)= log x e a=3,16.

Passo 3

Substituindo f(x)= log x na definição, temos
log(3,16+h)-log(3,16)h=logl(3,16+h3,16r)h
Usamos a propriedade log A-log B=log(A/B).

Passo 4

Para tratar o limite, escrevemos 3,16+h3,16=1+h3,16. Então
log(1+h3,16)h= raclog(1+h3,16)h3,16cdot13,16
E sabemos que limuto0log(1+u)u=1. Logo o limite todo é 1/3,16.

Passo 5

Concluímos que
f'(x)=1x
portanto
f'(3,16)=13,16approx0,3165

Resposta

f'(3,16)=tfrac13,16approx0,3165

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