Dada uma base B=(v1, ldots, vn) de R^n tal que vi cdot vj=0 se i neq j e vi cdot vi=1, mostre que as coordenadas de u in R^n na base B são (u cdot v1, ldots, u cdot vn), isto é
u=(u cdot v1, ldots, u cdot vn)B

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em uma base ortonormal B=(v1,ldots,vn) de R^n, as coordenadas de um vetor u são dadas pelos produtos internos (ucdot v1,ldots,ucdot vn). O conteúdo envolvido é produto interno e propriedades de base ortonormal. Para resolver, vamos usar a expressão de u como combinação linear da base e a ortonormalidade dos vetores.

Passo 2

Como B é base de R^n, existe uma combinação linear única que expressa u. Ou seja, podemos escrever
u = sumi=1^n ai ,vi,
em que os escalares a1,ldots,an são justamente as coordenadas de u na base.

Passo 3

Para encontrar cada aj, aplicamos o produto interno de u com vj. Usando linearidade e a propriedade de ortonormalidade vicdot vj=de, temos:
u cdot vj = sumi=1^n ai,(vicdot vj)=sumi=1^n ai,de
Dessa forma, cada coordenada aj coincide com ucdot vj.

Passo 4

Concluímos que as coordenadas de u na base B são (ucdot v1,ldots,ucdot vn), exatamente como queríamos demonstrar.

Resposta

(u \cdot v_{1}, ···, u \cdot v_{n})

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