Dada uma base
de
tal que
se
e
, mostre que as coordenadas de
na base
são
, isto é
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, em uma base ortonormal
de
, as coordenadas de um vetor
são dadas pelos produtos internos
. O conteúdo envolvido é produto interno e propriedades de base ortonormal. Para resolver, vamos usar a expressão de
como combinação linear da base e a ortonormalidade dos vetores.
Passo 2
Como
é base de
, existe uma combinação linear única que expressa
. Ou seja, podemos escrever
em que os escalares
são justamente as coordenadas de
na base.
Passo 3
Para encontrar cada
, aplicamos o produto interno de
com
. Usando linearidade e a propriedade de ortonormalidade
, temos:
Dessa forma, cada coordenada
coincide com
.
Passo 4
Concluímos que as coordenadas de
na base
são
, exatamente como queríamos demonstrar.
Resposta
(u \cdot v_{1}, ···, u \cdot v_{n})