Mostre que toda matriz A em M_{n}(\mathbb{R}) é da forma A=B^{\mathrm{t}}-3 B para uma única B em M_{n}(\mathbb{R}). (Sugestão: Considere a função T: M_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{n}(\mathbb{R}) definida por T(B)=B^{\mathrm{t}}-3 B.)

Passo 1

O enunciado dá uma matriz arbitrária A em M_{n}(\mathbb{R}) e pede que mostremos que existe uma única matriz B em M_{n}(\mathbb{R}) tal que
A = B^{\mathrm{t}} - 3B.
Foi sugerido considerar a aplicação linear T\colon M_{n}(\mathbb{R}) \to M_{n}(\mathbb{R}) definida por
T(B)=B^{\mathrm{t}}-3B.
Informações relevantes que temos:
\;M_{n}(\mathbb{R}) é o espaço vetorial de todas as matrizes reais n\times n, com dimensão \;n^{2}.
Queremos provar duas coisas: (i) existência de B tal que T(B)=A (ou seja, T é sobrejetora), e (ii) unicidade de B (ou seja, T é injetora). A resolução começa a partir da definição de T.

Passo 2

Mostramos que T é linear. Lembra que uma aplicação T é linear se para quaisquer matrizes X,Y e escalar \lambda valem T(X+Y)=T(X)+T(Y) e T(\lambda X)=\lambda T(X).
Tomemos X,Y\in M_{n}(\mathbb{R}) e \lambda\in\mathbb{R}. Usamos que a operação de transposição é linear: (X+Y)^{\mathrm{t}}=X^{\mathrm{t}}+Y^{\mathrm{t}} e (\lambda X)^{\mathrm{t}}=\lambda X^{\mathrm{t}}. Então
T(X+Y)=(X+Y)^{\mathrm{t}}-3(X+Y)=X^{\mathrm{t}}-3X+Y^{\mathrm{t}}-3Y=T(X)+T(Y),
T(\lambda X)=(\lambda X)^{\mathrm{t}}-3(\lambda X)=\lambda X^{\mathrm{t}}-3\lambda X=\lambda(X^{\mathrm{t}}-3X)=\lambda T(X).
Logo T é linear.

Passo 3

Calculamos o núcleo de T, isto é, todas as B tais que T(B)=0. A equação T(B)=0 significa
B^{\mathrm{t}}-3B=0 \quad\Longleftrightarrow\quad B^{\mathrm{t}}=3B.
Tomando a transposta dessa igualdade obtemos
B = 3B^{\mathrm{t}}.
Agora substituímos B^{\mathrm{t}}=3B nessa última expressão:
B = 3B^{\mathrm{t}} = 3(3B) = 9B.
Subtraindo B dos dois lados fica 0=8B, ou seja
8B=0 \quad\Longrightarrow\quad B=0,
pois estamos em um espaço sobre \mathbb{R}. Concluímos que o núcleo de T é apenas \{0\}.

Passo 4

Do passo anterior, como \ker T=\{0\}, segue que T é injetora. Agora usamos um fato básico de espaços vetoriais finito-dimensionais: se V é um espaço vetorial de dimensão finita e T\colon V\to V é uma aplicação linear entre espaços de mesma dimensão, então injetividade implica sobrejetividade (e vice‑versa). Aqui V=M_{n}(\mathbb{R}) tem dimensão n^{2}, o domínio e o contradomínio têm a mesma dimensão, portanto a injetividade de T implica que T é bijetora. Assim, para cada A\in M_{n}(\mathbb{R}) existe pelo menos um B com T(B)=A, e esse B é único.

Passo 5

Além de saber que existe e é único, é útil obter a fórmula explícita de B em função de A. Partimos do sistema (pegando transposta da equação original)
A = B^{\mathrm{t}} - 3B
A^{\mathrm{t}} = B - 3B^{\mathrm{t}}.
Multiplicamos a primeira igualdade por 3 e somamos com a segunda:
3A + A^{\mathrm{t}} = 3(B^{\mathrm{t}}-3B) + (B-3B^{\mathrm{t}}).
No lado direito simplificamos:
3(B^{\mathrm{t}}-3B) + (B-3B^{\mathrm{t}}) = 3B^{\mathrm{t}} -9B + B -3B^{\mathrm{t}} = -8B.
Portanto obtemos a relação
3A + A^{\mathrm{t}} = -8B.
Isolando B,
B = -\frac{1}{8}\bigl(3A + A^{\mathrm{t}}\bigr).

Passo 6

Verificação rápida (para me deixar mais confiante e para você usar na prova): calcule B^{\mathrm{t}}-3B com B dado por -\tfrac{1}{8}(3A+A^{\mathrm{t}}). Temos
B^{\mathrm{t}} = -\frac{1}{8}\bigl(3A^{\mathrm{t}} + A\bigr),
então
B^{\mathrm{t}}-3B = -\frac{1}{8}\bigl(3A^{\mathrm{t}}+A\bigr) -3\Bigl(-\frac{1}{8}\bigl(3A + A^{\mathrm{t}}\bigr)\Bigr) = \frac{-3A^{\mathrm{t}}-A +9A+3A^{\mathrm{t}}}{8} = \frac{8A}{8}=A.
Ótimo — a fórmula funciona. Assim mostramos existência e, pelo passo 4, a unicidade.

Resposta

B = -\frac{1}{8}\bigl(3A + A^{\mathrm{t}}\bigr)

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