Mostre que toda matriz
em
é da forma
para uma única
em
. (Sugestão: Considere a função
definida por
.)
Passo 1
O enunciado dá uma matriz arbitrária
em
e pede que mostremos que existe uma única matriz
em
tal que
Foi sugerido considerar a aplicação linear
definida por
Informações relevantes que temos:
é o espaço vetorial de todas as matrizes reais
, com dimensão
.
Queremos provar duas coisas: (i) existência de tal que
(ou seja,
é sobrejetora), e (ii) unicidade de
(ou seja,
é injetora). A resolução começa a partir da definição de
.
Queremos provar duas coisas: (i) existência de
Passo 2
Mostramos que
é linear. Lembra que uma aplicação
é linear se para quaisquer matrizes
e escalar
valem
e
.
Tomemos
e
. Usamos que a operação de transposição é linear:
e
. Então
Logo
é linear.
Passo 3
Calculamos o núcleo de
, isto é, todas as
tais que
. A equação
significa
Tomando a transposta dessa igualdade obtemos
Agora substituímos
nessa última expressão:
Subtraindo
dos dois lados fica
, ou seja
pois estamos em um espaço sobre
. Concluímos que o núcleo de
é apenas
.
Passo 4
Do passo anterior, como
, segue que
é injetora. Agora usamos um fato básico de espaços vetoriais finito-dimensionais: se
é um espaço vetorial de dimensão finita e
é uma aplicação linear entre espaços de mesma dimensão, então injetividade implica sobrejetividade (e vice‑versa). Aqui
tem dimensão
, o domínio e o contradomínio têm a mesma dimensão, portanto a injetividade de
implica que
é bijetora. Assim, para cada
existe pelo menos um
com
, e esse
é único.
Passo 5
Além de saber que existe e é único, é útil obter a fórmula explícita de
em função de
. Partimos do sistema (pegando transposta da equação original)
Multiplicamos a primeira igualdade por
e somamos com a segunda:
No lado direito simplificamos:
Portanto obtemos a relação
Isolando
,
Passo 6
Verificação rápida (para me deixar mais confiante e para você usar na prova): calcule
com
dado por
. Temos
então
Ótimo — a fórmula funciona. Assim mostramos existência e, pelo passo 4, a unicidade.