Sejam
e
espaços vetoriais de dimensão finita sobre
. Dada uma transformação linear
então
é subespaço vetorial de
.
- Verdadeiro
- Falso
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são espaços vetoriais reais de dimensão finita. -
é uma transformação linear.
A pergunta pede que se afirme se a sentença "é subespaço vetorial de " é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Definição do conjunto imagem: por definição,
Isto é, a imagem de
é o conjunto de todos os vetores de
que aparecem como
para algum
.
Passo 3
O que significa ser subespaço vetorial de
? Um subconjunto
é subespaço se satisfaz três propriedades equivalentes (vamos usar a versão prática):
-
é não vazio (equivalente: contém o vetor zero de ); -
é fechado sob adição: se então ; -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Vou verificar essas três propriedades para
. Cada variável usada será explicada:
são vetores em
;
são vetores em
;
é escalar em
.
Passo 4
Verificar que
contém o vetor zero de
. Seja
o vetor zero de
e
o vetor zero de
. Pela linearidade de
vale, para qualquer
e qualquer escalar
,
O lado esquerdo é
e o lado direito é
. Logo
Portanto
, então a imagem é não vazia e contém o zero.
Passo 5
Verificar fechamento por soma. Tome
. Por definição da imagem existem
tais que
e
. Pela linearidade de
(propriedade aditividade),
Como
, o vetor
pertence a
. Assim
. Logo a imagem é fechada por soma.
Passo 6
Verificar fechamento por multiplicação escalar. Tome
e
. Existe
com
. Pela linearidade de
(propriedade homogeneidade),
Como
, segue que
. Portanto
. Logo a imagem é fechada por multiplicação escalar.
Passo 7
Juntando os resultados dos passos anteriores:
contém
, é fechada sob soma e é fechada sob multiplicação escalar. Pelo critério de subespaço,
é subespaço vetorial de
.
Observação útil (sem exigir para a resposta): a hipótese de dimensão finita não foi necessária para provar isso — a imagem de uma aplicação linear entre espaços vetoriais é subespaço seja a dimensão finita ou infinita.
Resposta
Verdadeiro