Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita sobre \mathbb{R}. Dada uma transformação linear F: U \rightarrow V então \operatorname{Im}(F) é subespaço vetorial de V.
  • Verdadeiro
  • Falso

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • U e V são espaços vetoriais reais de dimensão finita.
  • F\colon U\to V é uma transformação linear.
    A pergunta pede que se afirme se a sentença " \operatorname{Im}(F) é subespaço vetorial de V" é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Definição do conjunto imagem: por definição,
\operatorname{Im}(F)=\{\,F(u)\mid u\in U\,\}\subseteq V.
Isto é, a imagem de F é o conjunto de todos os vetores de V que aparecem como F(u) para algum u\in U.

Passo 3

O que significa ser subespaço vetorial de V? Um subconjunto W\subseteq V é subespaço se satisfaz três propriedades equivalentes (vamos usar a versão prática):
  1. W é não vazio (equivalente: contém o vetor zero de V);
  2. W é fechado sob adição: se w_1,w_2\in W então w_1+w_2\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se w\in W e c\in\mathbb{R} então c w\in W.
Vou verificar essas três propriedades para W=\operatorname{Im}(F). Cada variável usada será explicada: u,u_1,u_2 são vetores em U; w,w_1,w_2 são vetores em \operatorname{Im}(F); c é escalar em \mathbb{R}.

Passo 4

Verificar que \operatorname{Im}(F) contém o vetor zero de V. Seja 0_U o vetor zero de U e 0_V o vetor zero de V. Pela linearidade de F vale, para qualquer u\in U e qualquer escalar 0,
F(0\cdot u)=0\cdot F(u).
O lado esquerdo é F(0_U) e o lado direito é 0_V. Logo
F(0_U)=0_V.
Portanto 0_V\in\operatorname{Im}(F), então a imagem é não vazia e contém o zero.

Passo 5

Verificar fechamento por soma. Tome w_1,w_2\in\operatorname{Im}(F). Por definição da imagem existem u_1,u_2\in U tais que w_1=F(u_1) e w_2=F(u_2). Pela linearidade de F (propriedade aditividade),
w_1+w_2 = F(u_1)+F(u_2)=F(u_1+u_2).
Como u_1+u_2\in U, o vetor F(u_1+u_2) pertence a \operatorname{Im}(F). Assim w_1+w_2\in\operatorname{Im}(F). Logo a imagem é fechada por soma.

Passo 6

Verificar fechamento por multiplicação escalar. Tome w\in\operatorname{Im}(F) e c\in\mathbb{R}. Existe u\in U com w=F(u). Pela linearidade de F (propriedade homogeneidade),
c\,w = c\,F(u)=F(cu).
Como cu\in U, segue que F(cu)\in\operatorname{Im}(F). Portanto c\,w\in\operatorname{Im}(F). Logo a imagem é fechada por multiplicação escalar.

Passo 7

Juntando os resultados dos passos anteriores: \operatorname{Im}(F) contém 0_V, é fechada sob soma e é fechada sob multiplicação escalar. Pelo critério de subespaço, \operatorname{Im}(F) é subespaço vetorial de V.
Observação útil (sem exigir para a resposta): a hipótese de dimensão finita não foi necessária para provar isso — a imagem de uma aplicação linear entre espaços vetoriais é subespaço seja a dimensão finita ou infinita.

Resposta

Verdadeiro

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