O conjunto I subset R^5 dos vetores v=(x, 2 x, 3 x, 4 x, 5 x) onde x in R é arbtrário é um sub-espaço vetorial de R^5 ?

Passo 1

O enunciado define
I = (x,2x,3x,4x,5x)mid xinRsubsetR^5
e pergunta se I é subespaço vetorial de R^5. Para isso a gente usa a definição de subespaço: deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero de R^5 está em I. Basta escolher x=0, então
(0,2cdot0,3cdot0,4cdot0,5cdot0)=(0,0,0,0,0),
logo o zero está em I.

Passo 3

Verificar fechamento em relação à soma. Tomemos
v1=(x1,2x1,3x1,4x1,5x1), v2=(x2,2x2,3x2,4x2,5x2)
Então
v1+v2 =(x1+x2,;2(x1+x2),;3(x1+x2),;4(x1+x2),;5(x1+x2)),
que é da forma (x,2x,3x,4x,5x) com x=x1+x2. Logo v1+v2in I.

Passo 4

Verificar fechamento em relação à multiplicação por escalar. Para alphainR e
v=(x,2x,3x,4x,5x),
temos
alpha v =(alpha x,;2alpha x,;3alpha x,;4alpha x,;5alpha x),
que é da forma (x',2x',3x',4x',5x') com x'=alpha x. Logo alpha vin I.

Resposta

Sim, I é subespaço vetorial de R^5.

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