3 Seja E um espaço vetorial com produto interno. Mostre que:
forall u, v in E,|u|=|v| Leftrightarrowlang<= u+v, u-vrang<==0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial real E com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e norma |x|=raizlang<= x,xrang<=, vale
forall u,vinE, |u|=|v|iff lang<= u+v,;u-vrang<==0
Vamos usar a bilinearidade e simetria do produto interno.

Passo 2

Expandimos lang<= u+v,;u-vrang<= usando bilinearidade em cada termo:
lang<= u+v,;u-vrang<= =lang<= u,urang<=-lang<= u,vrang<=+lang<= v,urang<=-lang<= v,vrang<=

Passo 3

Como o produto interno é simétrico ( lang<= v,urang<==lang<= u,vrang<=), os termos mistos se cancelam:
lang<= u+v,u-vrang<= =lang<= u,urang<=-lang<= v,vrang<= =|u|^2-|v|^2

Passo 4

Da expressão lang<= u+v,u-vrang<==|u|^2-|v|^2 segue imediatamente:
  • Se |u|=|v| então |u|^2-|v|^2=0, logo lang<= u+v,u-vrang<==0.
  • Se lang<= u+v,u-vrang<==0 então |u|^2-|v|^2=0, logo |u|=|v|.

Resposta

Foi demonstrado que |u|=|v| se e somente se lang<= u+v,u-vrang<==0.

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