Verifique que se X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} são v.a.'s independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com distribuição comum N(0,1), então X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots+X_{n}^{2} tem distribuição \operatorname{Gama}(n / 2,1 / 2) (esta distribuição é conhecida como qui-quadrado com n graus de liberdade e denotada por \chi^{2}(n) ). (Sugestão: use os exercícios (7b) da lista 8 e (5b) anterior.)
Passo 1
O enunciado afirma que X_{1},\dots,X_{n} são v.a.'s i.i.d. com distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1) e pede para mostrar que
T = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}
tem distribuição \mathrm{Gama}(n/2,1/2).
Os conteúdos necessários são: 1. transformação de variável para Y=X^{2} quando X\sim\mathcal{N}(0,1), 2. soma de variáveis independentes com distribuição Gama (mesmo parâmetro de taxa).
Portanto cada Y_{i}=X_{i}^{2}\sim\mathrm{Gama}(1/2,1/2).
Passo 3
Pelo exercício 7b da lista 8 (soma de variáveis Gama independentes com mesma taxa), se Y_{1},\dots,Y_{n} são independentes com Y_{i}\sim\mathrm{Gama}(\alpha_i,\beta), então