Distribuição de objetos em cubículos. Considere a estrutura do espaço amostral decorrente de alocar k objetos (bolas, etc.) em n cubículos (caixas, etc.) enumerados de 1 a n. Esta classe de problemas aparece, por exemplo, na Física Estatística quando é estudada a distribuição de k partículas (prótons, elétrons, etc.) entre n estados (que podem ser níveis de energia). Na física estatística dizemos que:
  • as partículas distinguíveis e que não estão sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli (no máximo uma partícula por sítio) obedecem as estatísticas de Maxwell-Boltzmann
    -as partículas distinguíveis e que estão sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli (no máximo uma partícula por sítio) obedecem as estatísticas de Bose-Einstein.
    -as partículas distinguíveis e que estão sujeitas ao princípio de exclusão, dizemos que obedecem as estatísticas de Fermi-Dirac.
Descreva o espaço amostral para estes modelos de alocação de partículas.

Passo 1

O enunciado nos pede para descrever o espaço amostral quando alocamos k partículas em n cubículos segundo três estatísticas da Física Estatística: Maxwell–Boltzmann, Bose–Einstein e Fermi–Dirac. Vamos precisar conhecer conceitos de função entre conjuntos (para Maxwell–Boltzmann) e de vetores de ocupação cuja soma dá k (para Bose–Einstein e Fermi–Dirac).

Passo 2

Maxwell–Boltzmann: partículas distinguíveis e sem restrição de ocupação em cada cubículo. Cada arranjo corresponde a escolher, para cada partícula j\in\{1,\dots,k\}, um cubículo f(j)\in\{1,\dots,n\}.
\Omega_{\mathrm{MB}} =\bigl\{\,f:\{1,2,\dots,k\}\to\{1,2,\dots,n\}\bigr\}.

Passo 3

Bose–Einstein: partículas indistinguíveis e sem restrição de ocupação. Um estado de ocupação é dado por um vetor (m_{1},\dots,m_{n}) onde m_{i}\ge0 é o número de partículas no cubículo i e
\sum_{i=1}^{n}m_{i}=k.
\Omega_{\mathrm{BE}} =\bigl\{(m_{1},\dots,m_{n})\in\mathbb{N}_{0}^{n}\mid \sum_{i=1}^{n}m_{i}=k\bigr\}.

Passo 4

Fermi–Dirac: partículas indistinguíveis e sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli (no máximo uma por cubículo). Agora m_{i}\in\{0,1\} e
\sum_{i=1}^{n}m_{i}=k.
\Omega_{\mathrm{FD}} =\bigl\{(m_{1},\dots,m_{n})\in\{0,1\}^{n}\mid \sum_{i=1}^{n}m_{i}=k\bigr\}.

Resposta

Maxwell–Boltzmann:
\Omega_{\mathrm{MB}} =\{\,f:\{1,\dots,k\}\to\{1,\dots,n\}\}.
Bose–Einstein:
\Omega_{\mathrm{BE}} =\{(m_{1},\dots,m_{n})\in\mathbb{N}_{0}^{n}\mid \sum_{i=1}^{n}m_{i}=k\}.
Fermi–Dirac:
\Omega_{\mathrm{FD}} =\{(m_{1},\dots,m_{n})\in\{0,1\}^{n}\mid \sum_{i=1}^{n}m_{i}=k\}.

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