Seja
um escalar. Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um escalar qualquer
, vale
O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais especificamente a regra do produto para o rotacional de um escalar vezes um campo vetorial e propriedades de gradiente e rotacional.
Passo 2
Usamos a identidade geral do rotacional de um produto escalar–vetor: se
é escalar e
é vetor, então
Passo 3
No nosso caso escolhemos
e
. Aplicando a identidade,
Passo 4
Agora usamos duas propriedades padrão:
- O produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero, então
. - O rotacional de um gradiente é sempre zero, ou seja,
.
Portanto cada termo na soma é nulo, e obtemos