Seja f um escalar. Demonstre que nabla times(f nabla f)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um escalar qualquer f, vale
nabla times l(f,nabla fr) ;=; 0
O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais especificamente a regra do produto para o rotacional de um escalar vezes um campo vetorial e propriedades de gradiente e rotacional.

Passo 2

Usamos a identidade geral do rotacional de um produto escalar–vetor: se phi é escalar e A é vetor, então
nabla times (phi,A) =nablaphi times A ;+;phi,nablatimes A

Passo 3

No nosso caso escolhemos phi = f e A = nabla f. Aplicando a identidade,
nabla times l(f,nabla fr) =nabla f times nabla f ;+;f,nablatimes(nabla f)

Passo 4

Agora usamos duas propriedades padrão:
  1. O produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero, então nabla f times nabla f = 0.
  2. O rotacional de um gradiente é sempre zero, ou seja, nablatimes(nabla f)=0.
Portanto cada termo na soma é nulo, e obtemos
nabla times l(f,nabla fr)=0+fcdot0=0

Resposta

nabla times l(f,nabla fr) = 0

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