Usando notação indicial, demonstre que, em coordenadas cartesianas:
nabla times(u times v)=u(nabla cdot v)-v(nabla cdot u)+(v cdot nabla) u-(u cdot nabla) v

Passo 1

O enunciado pede para provar, em coordenadas cartesianas e usando notação indicial, a identidade vetorial
nabla times(u times v) =u,(nabla cdot v) -v,(nabla cdot u) +(v cdot nabla),u -(u cdot nabla),v
Vamos usar as componentes ui, vi, a derivada parcial partialj=partialpartial xj, o símbolo de Levi-Civita epsilonijk e o delta de Kronecker de<aij.

Passo 2

Escrevemos a componente i-ésima do rotacional do produto vetorial em notação indicial:
(nabla times(u times v))i = epsilonijk,partialjl((u times v)kr)

Passo 3

Sabemos que (u times v)k = epsilonklm,ul,vm. Substituindo:
(nabla times(u times v))i = epsilonijk,partialjl(epsilonklm,ul,vmr)

Passo 4

Usamos a identidade
epsilonijk,epsilonklm = de<ail,de<ajm - de<aim,de<ajl
Então
(nabla times(u times v))i = (de<ail,de<ajm-de<aim,de<ajl) ,partialj(ul,vm)

Passo 5

Aplicando os deltas de Kronecker:
(nabla times(u times v))i = partialj(ui,vj) - partialj(uj,vi)
Agora desdobramos cada derivada pelo produto:
partialj(ui,vj) = ui,partialj vj + vj,partialj ui,
partialj(uj,vi) = uj,partialj vi + vi,partialj uj

Passo 6

Substituindo essas expressões na diferença:
(nabla times(u times v))i = ui,partialj vj + vj,partialj ui - uj,partialj vi - vi,partialj uj
Reagrupando:
(nabla times(u times v))i = ui,(partialj vj) - vi,(partialj uj) + vj,partialj ui - uj,partialj vi

Passo 7

Identificamos em notação vetorial:
partialj vj = nablacdotv,
partialj uj = nablacdotu,
vj,partialj ui = (vcdotnabla)ui,
uj,partialj vi = (ucdotnabla)vi.
Logo, em forma vetorial:
nabla times(u times v) =u,(nabla cdot v) -v,(nabla cdot u) +(v cdot nabla),u -(u cdot nabla),v

Resposta

nabla times(u times v) =u,(nabla cdot v) -v,(nabla cdot u) +(v cdot nabla),u -(u cdot nabla),v

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