Usando notação indicial, demonstre que, em coordenadas cartesianas:
Passo 1
O enunciado pede para provar, em coordenadas cartesianas e usando notação indicial, a identidade vetorial
Vamos usar as componentes
,
, a derivada parcial
, o símbolo de Levi-Civita
e o delta de Kronecker
.
Passo 2
Escrevemos a componente
-ésima do rotacional do produto vetorial em notação indicial:
Passo 3
Sabemos que
. Substituindo:
Passo 4
Usamos a identidade
Então
Passo 5
Aplicando os deltas de Kronecker:
Agora desdobramos cada derivada pelo produto:
Passo 6
Substituindo essas expressões na diferença:
Reagrupando:
Passo 7
Identificamos em notação vetorial:
,
,
,
.
Logo, em forma vetorial:
Logo, em forma vetorial: