Considere as retas r1:ly=2 x+5 z=-x+2 e r2: x-5=y-3=z+1.
(a) Encontre equações paramétricas para a reta que passa pelo ponto A(1,1,1) e pelo ponto de interseção de r1 com r2. (valor: 1,5 )

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica, onde precisamos encontrar as equações paramétricas de uma reta. Essa reta vai passar pelo ponto A(1,1,1) e também pelo ponto de interseção das retas e . Pra resolver isso, vamos precisar encontrar primeiro onde as retas e se cruzam.

Passo 2

Vamos achar o ponto de interseção das retas y = 2x + 5 z = -x + 2 e x - 5 = y-3 = z + 1 . A reta x = 5 + t y = -3t z = -1 + t está definida pelas equações:
y = 2x + 5 Rightarrow -3t = 2(5 + t) + 5 z = -x + 2 Rightarrow -1 + t = -(5 + t) + 2
E a reta -3t = 10 + 2t + 5 Rightarrow -3t = 15 + 2t Rightarrow -5t = 15 Rightarrow t = -3 está dada por:
-1 + (-3) = -(5 - 3) + 2 Rightarrow -4 = -2 + 2 Rightarrow -4 = 0
Para encontrar o ponto de interseção, vamos igualar as expressões das duas retas. Vamos chamar o parâmetro de de , então podemos escrever as equações paramétricas de como:
Agora, vamos substituir essas expressões nas equações de :
Resolvendo a primeira equação:
Agora, substituindo na segunda equação:
Isso é inconsistente, o que significa que as retas e não se intersectam. Pode ter havido um erro de cálculo ou as retas são paralelas.

Passo 3

Como as retas não se intersectam, não conseguimos encontrar um ponto de interseção. Portanto, a reta que procuramos não pode ser definida dessa maneira. Vamos verificar se houve algum erro nos cálculos anteriores.
Reavaliando as equações, percebemos que a substituição estava correta, e de fato, as retas são paralelas ou não intersectam no espaço tridimensional. Portanto, não há um ponto de interseção entre e , tornando impossível seguir com a resolução conforme o enunciado original.

Resposta

Não existe um ponto de interseção entre as retas e , portanto, não é possível determinar as equações paramétricas da reta solicitada.

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