Sejam u, v e w LI. Mostre que, se a u+b v+c w=alpha u+beta v+gamma w, então a=alpha, b=beta e c=gamma.

Passo 1

O enunciado dá três vetores u,v,w que são linearmente independentes (LI) e afirma que
a,u+b,v+c,w =alpha,u+beta,v+gamma,w
O conteúdo principal é a definição de independência linear: uma combinação linear nula só ocorre se todos os coeficientes forem zero. Vamos usar isso para comparar os coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a igualdade dada e passamos tudo para um lado:
a,u+b,v+c,w -l(alpha,u+beta,v+gamma,wr) = 0

Passo 3

Agrupando termos semelhantes, obtemos
l(a-alphar)u ;+;l(b-betar)v;+;l(c-gammar)w =0

Passo 4

Como u,v,w são LI, a única forma de
lambda1,u+lambda2,v+lambda3,w=0
é ter lambda1=lambda2=lambda3=0. Aqui lambda1=a-alpha, lambda2=b-beta e lambda3=c-gamma.

Passo 5

Logo
a-alpha=0, b-beta=0, c-gamma=0
isto é
a=alpha, b=beta, c=gamma

Resposta

a=alpha,;b=beta,;c=gamma.

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