Sejam A=[lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 3 & 2] e B=[ccc1 & x & 9 0 & 1 & 3 0 & y & -8]. Determine os valores de x e y, sabendo que A B=A^t.

Passo 1

Temos as matrizes A e B abaixo:
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 3 & 2
B = 1 & x & 9 0 & 1 & 3 0 & y & -8
O enunciado pede os valores de x e y tais que
AB = A^t
Aqui vamos usar multiplicação de matrizes e a definição de transposta.

Passo 2

Calculemos o produto AB tomando linha por coluna:
AB = 1cdot1 + 0cdot0 + 1cdot0 & 1cdot x + 0cdot1 + 1cdot y & 1cdot9 + 0cdot3 + 1cdot(-8) 0cdot1 + 1cdot0 + 0cdot0 & 0cdot x + 1cdot1 + 0cdot y & 0cdot9 + 1cdot3 + 0cdot(-8) 1cdot1 + 3cdot0 + 2cdot0 & 1cdot x + 3cdot1 + 2cdot y & 1cdot9 + 3cdot3 + 2cdot(-8)
que simplifica para
AB = 1 & x + y & 1 0 & 1 & 3 1 & x + 3 + 2y & 2

Passo 3

A transposta de A é obtida trocando linhas por colunas:
A^t = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 3 1 & 0 & 2

Passo 4

Igualamos as entradas correspondentes de AB e A^t. Das posições (1,2) e (3,2) surgem as equações
x + y = 0
x + 3 + 2y = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema
x + y = 0, x + 3 + 2y = 0,
da primeira equação vem y = -x. Substituindo na segunda:
x + 3 + 2(-x) = 0
-x + 3 = 0
x = 3
e portanto
y = -3

Resposta

x = 3 e y = -3.

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