Sejam
e
subespaços do espaço vetorial
, de dimensão igual a 6 .
a) Se
e
, mostre que
b) Se
, encontre as dimensões possíveis para
.
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
e que
e
são subespaços com
e
igual a
no item (a) e igual a
no item (b). Vamos usar a fórmula da dimensão da soma de subespaços:
Passo 2
Aplicando essa fórmula ao caso (a), em que
e
, temos
Como
é subespaço de
, vale
Passo 3
Da desigualdade
segue
Como
, concluímos que
.
Passo 4
No item (b) temos
, então a mesma fórmula dá
De novo
, mas também
contém
e
, logo
Passo 5
Assim
pode ser
,
ou
. Para cada caso,
produz os valores
Resposta
a)
, logo
b) As dimensões possíveis de são
,
ou
.
b) As dimensões possíveis de