Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V, de dimensão igual a 6 .
a) Se dim(U)=4 e dim(W)=5, mostre que U cap W neq0
b) Se dim(U)=dim(W)=4, encontre as dimensões possíveis para U cap W.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão 6 e que U e W são subespaços com dim(U)=4 e dim(W) igual a 5 no item (a) e igual a 4 no item (b). Vamos usar a fórmula da dimensão da soma de subespaços:
dim(U+W)+dim(Ucap W)=dim(U)+dim(W)

Passo 2

Aplicando essa fórmula ao caso (a), em que dim(U)=4 e dim(W)=5, temos
dim(U+W)+dim(Ucap W)=4+5=9
Como U+W é subespaço de V, vale
dim(U+W)<=dim(V)=6

Passo 3

Da desigualdade dim(U+W)<=6 segue
dim(Ucap W)=9-dim(U+W)>=9-6=3
Como dim(Ucap W)>=3>0, concluímos que Ucap Wneq0.

Passo 4

No item (b) temos dim(U)=dim(W)=4, então a mesma fórmula dá
dim(U+W)+dim(Ucap W)=4+4=8
De novo dim(U+W)<=6, mas também U+W contém U e W, logo
dim(U+W)>=maxdim(U),dim(W)=4

Passo 5

Assim dim(U+W) pode ser 4, 5 ou 6. Para cada caso,
dim(Ucap W)=8-dim(U+W)
produz os valores
8-6=2, 8-5=3, 8-4=4

Resposta

a) dim(Ucap W)>=3, logo Ucap Wneq0
b) As dimensões possíveis de Ucap W são 2, 3 ou 4.

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