( 6,0 pontos) Verdadeiro ou Falso? Se for verdadciro, demonstre. Se for falso, justifique.
(a) , o subespaço gerado por dois vetores não nulos é sempre um plano.
(b) O conjunto {matrizes triangulares superiores de ordem 3 é um subespaço de .
(c) O vetor pertence ao subespaço gerado por .
(d) O conjunto é linearmente independente no espaço vetorial .
(e) Se uma matriz , quadrada de ordem 3 , é invertível, então .
(f) A área do paralelogramo determinado pelos vetores e é .
Passo 1
E aí! Nesse exercício a gente tem 6 pequenas afirmações de Verdadeiro ou Falso:
(a) subespaço gerado por dois vetores não nulos em ,
(b) conjunto de matrizes triangulares superiores ,
(c) pertença de ao span de e ,
(d) independência de em ,
(e) relação entre inversibilidade de matriz e determinante,
(f) área de paralelogramo via produto vetorial.
O que vamos usar: definição de subespaço e span, teste de subespaço (fechamento em soma e escalar), solução de sistema linear, Wronskiano pra independência, propriedade de determinantes e fórmula de área .
Passo 2
(a) A afirmação é “Em , o subespaço gerado por dois vetores não nulos é sempre um plano.”
Lembra que
Se e são LI, dá plano. Mas se , vira só uma reta. Por exemplo, com
a gente tem
que é reta, não plano. Como a frase dizia “sempre”, basta esse contraexemplo.
Resposta: FALSO.
Passo 3
(b) Conjunto das matrizes triangulares superiores de ordem 3 em . Pra ser subespaço precisa:
conter a matriz zero (ok, a nula é triangular),
ser fechado em soma (soma de duas triangulares sup. continua triangular sup.),
ser fechado em escalar (escalares não mudam zeros abaixo da diagonal).
Tudo certo, logo é VERDADEIRO.
Passo 4
(c) Queremos saber se existe [α,β) tais que
Isso gera o sistema
Das duas primeiras equações vem , mas na terceira daria . Não bate, não tem solução.
Resposta: FALSO.
Passo 5
(d) Checar se e^4x,e^-5x é LI em F( R; R). A gente calcula o Wronskiano: