( 6,0 pontos) Verdadeiro ou Falso? Se for verdadciro, demonstre. Se for falso, justifique.
(a) Em R^3, o subespaço gerado por dois vetores não nulos é sempre um plano.
(b) O conjunto {matrizes triangulares superiores de ordem 3 é um subespaço de M(3,3).
(c) O vetor (5,4,3) pertence ao subespaço gerado por (-1,3,1) e(1,-2,4).
(d) O conjunto e^4 x, e^-5 x é linearmente independente no espaço vetorial F(R ; R).
(e) Se uma matriz A, quadrada de ordem 3 , é invertível, então det A neq 0.
(f) A área do paralelogramo determinado pelos vetores (3,2,1) e (1,2,3) é 4 raiz6.

Passo 1

E aí! Nesse exercício a gente tem 6 pequenas afirmações de Verdadeiro ou Falso:
(a) subespaço gerado por dois vetores não nulos em R^3,
(b) conjunto de matrizes triangulares superiores 3times3,
(c) pertença de (5,4,3) ao span de (-1,3,1) e (1,-2,4),
(d) independência de e^4x,e^-5x em F( R; R),
(e) relação entre inversibilidade de matriz 3times3 e determinante,
(f) área de paralelogramo via produto vetorial.
O que vamos usar: definição de subespaço e span, teste de subespaço (fechamento em soma e escalar), solução de sistema linear, Wronskiano pra independência, propriedade de determinantes e fórmula de área |utimes v|.

Passo 2

(a) A afirmação é “Em R^3, o subespaço gerado por dois vetores não nulos é sempre um plano.”
Lembra que
spanv1,v2=αv1+βv2:α,βin R
Se v1 e v2 são LI, dá plano. Mas se v2=k,v1, vira só uma reta. Por exemplo, com
v1=(1,0,0), v2=(2,0,0)=2v1
a gente tem
spanv1,v2=(t,0,0):tin R,
que é reta, não plano. Como a frase dizia “sempre”, basta esse contraexemplo.
Resposta: FALSO.

Passo 3

(b) Conjunto das matrizes triangulares superiores de ordem 3 em M(3,3). Pra ser subespaço precisa:
  1. conter a matriz zero (ok, a nula é triangular),
  2. ser fechado em soma (soma de duas triangulares sup. continua triangular sup.),
  3. ser fechado em escalar (escalares não mudam zeros abaixo da diagonal).
    Tudo certo, logo é VERDADEIRO.

Passo 4

(c) Queremos saber se existe [α,β) tais que
Isso gera o sistema
Das duas primeiras equações vem , mas na terceira daria . Não bate, não tem solução.
Resposta: FALSO.

Passo 5

(d) Checar se e^4x,e^-5x é LI em F( R; R). A gente calcula o Wronskiano:
W(x)=det e^4x & e^-5x 4e^4x & -5e^-5x =e^4x(-5e^-5x)-e^-5x(4e^4x) =-9e^-xneq0
Como W(x) nunca zera, as funções são independentes.
Resposta: VERDADEIRO.

Passo 6

(e) Se A é invertível então existe A^-1 e
det(AA^-1)=det I=1,det(AA^-1)=det Acdotdet(A^-1)
Logo det Aneq0.
Resposta: VERDADEIRO.

Passo 7

(f) A área do paralelogramo gerado por u=(3,2,1) e v=(1,2,3) é |utimes v|.
Calculando o produto vetorial:
utimes v =l((2·3-1·2),,-(3·3-1·1),,(3·2-2·1)r) =(4,-8,4)
Então
|utimes v| =raiz4^2+(-8)^2+4^2 =raiz16+64+16 =raiz96 =4raiz6
Bate certinho.
Resposta: VERDADEIRO.

Resposta

(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Verdadeiro
(f) Verdadeiro

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