Sejam u=(x1, x2) e v=(y1, y2) pertencentes a C^2.
Para que valores de a, b, c, d in C a função f é um produto interno em C^2 ?
f(u, v)=a x1 y1+b x1 y2+c x2 y1+d x2 y2

Passo 1

O enunciado pede os valores de a,b,c,dinC tais que
f(u,v)=a,x1y1+b,x1y2+c,x2y1+d,x2y2
seja um produto interno em C^2.
Em C^2 um produto interno é uma forma sesquilinear que satisfaz
1. conjugada-simetria: f(v,u)=f(u,v),
2. positividade definida: f(u,u)>0 se uneq0.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial, lembrando que na segunda variável devemos conjugar os coeficientes para ter a parte “sesqui” (hermítica). Definindo
temos
]

Passo 3

Conjugada-simetria f(v,u)=f(u,v) equivale a exigir
A=A^*,
ou seja
a=a, d=d, c=b
Portanto a e d são reais, e c é o conjugado de b.

Passo 4

Para positividade definida precisamos
f(u,u)=u^*A,u>0 forall,uneq0
Pelos critérios de Sylvester, isso equivale a exigir que os menores principais de A sejam positivos:
1. detl([a]r)=a>0,
2. det(A)=ad-b,c>0.
Como c=b e a,dinR, isso dá
a>0, ad-|b|^2>0

Resposta

Os coeficientes devem satisfazer
ainR, dinR, c=b, a>0, ad-|b|^2>0

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