Para que valores de a função é um produto interno em ?
Passo 1
O enunciado pede os valores de tais que
seja um produto interno em .
Em um produto interno é uma forma sesquilinear que satisfaz . conjugada-simetria: , 2. positividade definida: f(u,u)>0 se uneq0.
Passo 2
Escrevemos em forma matricial, lembrando que na segunda variável devemos conjugar os coeficientes para ter a parte “sesqui” (hermítica). Definindo
temos
]
Passo 3
Conjugada-simetria f(v,u)=f(u,v) equivale a exigir
A=A^*,
ou seja
a=a, d=d, c=b
Portanto a e d são reais, e c é o conjugado de b.
Passo 4
Para positividade definida precisamos
f(u,u)=u^*A,u>0 forall,uneq0
Pelos critérios de Sylvester, isso equivale a exigir que os menores principais de A sejam positivos: 1. detl([a]r)=a>0, 2. det(A)=ad-b,c>0.
Como c=b e a,dinR, isso dá