Dadas as transformações lineares
,
(a)
(b)
faça o que se pede:
(i) Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão.
é injetora? Justifique.
(ii) Determinar a imagem de
, uma base para este subespaço e a sua dimensão.
é sobrejetora? Justifique.
(iii) Quais dos seguintes vetores
pertencem ao núcleo de
na letra (b).
(a)
(b)
faça o que se pede:
(i) Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão.
(ii) Determinar a imagem de
(iii) Quais dos seguintes vetores
Passo 1
O enunciado trata de transformações lineares
em dois casos:
(a) ,
.
(b) ,
.
Precisamos calcular, para cada :
. O núcleo
, sua base e dimensão, e decidir se
é injetora (sabendo que
é injetora
).
. A imagem
, sua base e dimensão, e decidir se
é sobrejetora (sabendo que
é sobrejetora
do contradomínio).
Além disso, no caso (b) verificar quais vetores dados estão em .
(a)
(b)
Precisamos calcular, para cada
Além disso, no caso (b) verificar quais vetores dados estão em
Passo 2
(a)(i) Calcular
Da segunda equação . Então da primeira também fica
. Logo
Esse subespaço só contém o vetor zero, sua base é o conjunto vazio e
Como
,
é injetora.
Passo 3
(a)(ii) Calcular
. Basta olhar as colunas da matriz de
nos canônicos:
Portanto
Esses vetores são linearmente independentes (não há
não nulos que façam
), então
Como o contradomínio é
(dim
) e
,
não é sobrejetora.
Passo 4
(b)(i) Calcular
Da primeira equação . Logo
Assim
e como
,
não é injetora.
Passo 5
(b)(ii) Calcular
. As colunas são
Observamos que
, então basta
para gerar todo
. Assim
com base, por exemplo,
e
Como o contradomínio é
(dim
) e
,
é sobrejetora.
Passo 6
(b)(iii) Verificar quais dos vetores
,
,
estão em
.
Um vetor está em
se e somente se
Um vetor
- Para
: e . Logo pertence. - Para
: e . Liga o zero, pertence. - Para
: , mas . Não pertence.
Resposta
(a)(i)
, base vazia,
;
é injetora.
(a)(ii) , base ,
;
não é sobrejetora.
(b)(i) , ;
não é injetora.
(b)(ii) , base
,
;
é sobrejetora.
(b)(iii) Em estão
e
;
não está.
(a)(ii) , base
(b)(i) ,
(b)(ii)
(b)(iii) Em