Dadas as transformações lineares T: R^n R^m,
(a) T(x, y)=(x+y, x, 2 y)
(b) * T(x, y, z)=(x+y, y+z)
faça o que se pede:
(i) Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão. T é injetora? Justifique.
(ii) Determinar a imagem de T, uma base para este subespaço e a sua dimensão. T é sobrejetora? Justifique.
(iii) Quais dos seguintes vetores (1,-1,1),(0,0,0),(-3,3,3) pertencem ao núcleo de T na letra (b).

Passo 1

O enunciado trata de transformações lineares T em dois casos:
(a) TcolonR^2toR^3, T(x,y)=(x+y,;x,;2y).
(b) TcolonR^3toR^2, T(x,y,z)=(x+y,;y+z).
Precisamos calcular, para cada T:
1. O núcleo ker(T), sua base e dimensão, e decidir se T é injetora (sabendo que T é injetora Leftrightarrow dimker(T)=0).
2. A imagem Im(T), sua base e dimensão, e decidir se T é sobrejetora (sabendo que T é sobrejetora Leftrightarrow dimIm(T)=dim do contradomínio).
Além disso, no caso (b) verificar quais vetores dados estão em ker(T).

Passo 2

(a)(i) Calcular
Da segunda equação . Então da primeira também fica . Logo
Esse subespaço só contém o vetor zero, sua base é o conjunto vazio e
Como , é injetora.

Passo 3

(a)(ii) Calcular . Basta olhar as colunas da matriz de nos canônicos:
Portanto
Esses vetores são linearmente independentes (não há não nulos que façam ), então
Como o contradomínio é (dim ) e , não é sobrejetora.

Passo 4

(b)(i) Calcular
Da primeira equação . Logo
Assim
e como , não é injetora.

Passo 5

(b)(ii) Calcular Im(T). As colunas são
T(e1)=(1,0), T(e2)=(1,1), T(e3)=(0,1)
Observamos que (1,1)=(1,0)+(0,1), então basta (1,0),(0,1) para gerar todo R^2. Assim
Im(T)=R^2,
com base, por exemplo, (1,0),(0,1) e
dimIm(T)=2
Como o contradomínio é R^2 (dim =2) e dimIm(T)=2, T é sobrejetora.

Passo 6

(b)(iii) Verificar quais dos vetores (1,-1,1), (0,0,0), (-3,3,3) estão em ker(T).
Um vetor (x,y,z) está em ker(T) se e somente se
x+y=0e y+z=0
  • Para (1,-1,1): 1+(-1)=0 e -1+1=0. Logo pertence.
  • Para (0,0,0): 0+0=0 e 0+0=0. Liga o zero, pertence.
  • Para (-3,3,3): -3+3=0, mas 3+3=6neq0. Não pertence.

Resposta

(a)(i) , base vazia, ; é injetora.
(a)(ii) , base , ; não é sobrejetora.
(b)(i) , ; não é injetora.
(b)(ii) , base , ; é sobrejetora.
(b)(iii) Em estão e ; não está.

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