Sejam P=(2,0,0), Q=(1,1,1) e R=(0,1,0). Use a projeção ortogonal para calcular a altura relativa do lado P R do triângulo P Q R.

Passo 1

O enunciado pede a altura relativa ao lado PR no triângulo PQR, ou seja, a distância do vértice Q à reta que contém o segmento PR. Vamos usar projeção ortogonal de vetores em R^3.

Passo 2

Definimos os vetores
QP = Q - P = (1,1,1)-(2,0,0)=(-1,1,1),
PR = R - P = (0,1,0)-(2,0,0)=(-2,1,0)
A teoria diz que a projeção de QP sobre PR é
projPR(QP) = QPcdotPRlVert PRrVert^2,PR

Passo 3

Calculamos o produto interno e o quadrado da norma:
QPcdotPR = (-1)cdot(-2) + 1cdot1 + 1cdot0 = 3, lVert PRrVert^2 = (-2)^2 + 1^2 + 0^2 = 5
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projPR(QP) = 35,(-2,1,0) = l(-tfrac65,,tfrac35,,0r)

Passo 4

O vetor perpendicular de QP à direção PR é
vperp = QP - projPR(QP) = l(-1,1,1r) - l(-tfrac65,tfrac35,0r) = l(tfrac15,,tfrac25,,1r)
A altura é a norma desse vetor:
h = lVert vperprVert = raizl(tfrac15r)^2 + l(tfrac25r)^2 + 1^2 = raiz1+425 + 1 = raiz525 + 1 = raiz3025 = raiz305 = raiz65

Resposta

A a<ura relativa ao lado PR é h=raiztfrac65 é

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