Sejam v_{1}=(2,1,0,3), v_{2}=(3,1,5,2), v_{3}=(-1,0,2,1). Decida se os vetores abaixo estão em \operatorname{span}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}.
(2,3,7,3)

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
v_{1}=(2,1,0,3),\quad v_{2}=(3,1,5,2),\quad v_{3}=(-1,0,2,1)
em \mathbb{R}^4 e pede para decidir se o vetor
w=(2,3,7,3)
está em \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}. O conteúdo usado será solução de sistema linear, pois w pertence à combinação linear de v_1,v_2,v_3 se existirem escalares a,b,c tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=w.

Passo 2

Igualando componentes de
a\,(2,1,0,3)+b\,(3,1,5,2)+c\,(-1,0,2,1)=(2,3,7,3),
obtemos o sistema
2a+3b - c = 2,\quad a + b = 3,\quad 5b+2c = 7,\quad 3a+2b + c = 3.

Passo 3

Da segunda equação segue
a=3 - b.
Substituindo em 2a+3b-c=2
2(3-b)+3b - c =2 \quad\Longrightarrow\quad 6 + b - c =2 \quad\Longrightarrow\quad c=b+4.

Passo 4

Agora a terceira equação 5b+2c=7 vira
5b + 2(b+4) =7 \quad\Longrightarrow\quad 7b +8 =7 \quad\Longrightarrow\quad b=-\tfrac{1}{7},
de onde
c = b+4 = -\tfrac{1}{7}+4 = \tfrac{27}{7}, \quad a = 3 - b = 3 + \tfrac{1}{7} = \tfrac{22}{7}.

Passo 5

Por fim, verificamos a quarta equação 3a+2b+c=3:
3\bigl(\tfrac{22}{7}\bigr) +2\bigl(-\tfrac{1}{7}\bigr) + \tfrac{27}{7} = \tfrac{66 -2 +27}{7} = \tfrac{91}{7} =13\neq 3.
Como não satisfaz, o sistema é inconsistente e não há a,b,c que representem w como combinação linear de v_1,v_2,v_3.

Resposta

O vetor (2,3,7,3) não pertence a \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.

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