Determine se os conjuntos abaixo geram \mathbb{R}^{3}.
v_{1}=(3,1,4), v_{2}=(2,3,5), v_{3}=(5,2,9), v_{4}=(1,4,1).

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^3:
v_{1}=(3,1,4),\quad v_{2}=(2,3,5),\quad v_{3}=(5,2,9),\quad v_{4}=(1,4,1).
Precisamos decidir se cada um dos seguintes conjuntos de três vetores gera \mathbb{R}^3:
S_{1}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\},\\ S_{2}=\{v_{1},v_{2},v_{4}\},\\ S_{3}=\{v_{1},v_{3},v_{4}\},\\ S_{4}=\{v_{2},v_{3},v_{4}\}.
Num espaço de dimensão 3, um conjunto de três vetores gera \mathbb{R}^3 se, e somente se, eles são linearmente independentes. Para verificar independência, formamos a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e calculamos seu determinante. Se o determinante for não nulo, o conjunto gera \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para S_{1}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} formamos
M_{1}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4\\\\ 2 & 3 & 5\\\\ 5 & 2 & 9 \end{pmatrix}
e calculamos
\det(M_{1}) =3\bigl(3\cdot9-5\cdot2\bigr) -1\bigl(2\cdot9-5\cdot5\bigr) +4\bigl(2\cdot2-3\cdot5\bigr) =14\neq0.
Logo, S_{1} gera \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para S_{2}=\{v_{1},v_{2},v_{4}\} tomamos
M_{2}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4\\\\ 2 & 3 & 5\\\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}
e
\det(M_{2}) =3\bigl(3\cdot1-5\cdot4\bigr) -1\bigl(2\cdot1-5\cdot1\bigr) +4\bigl(2\cdot4-3\cdot1\bigr) =-28\neq0.
Portanto, S_{2} gera \mathbb{R}^3.

Passo 4

Para S_{3}=\{v_{1},v_{3},v_{4}\} definimos
M_{3}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4\\\\ 5 & 2 & 9\\\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}
e
\det(M_{3}) =3\bigl(2\cdot1-9\cdot4\bigr) -1\bigl(5\cdot1-9\cdot1\bigr) +4\bigl(5\cdot4-2\cdot1\bigr) =-26\neq0.
Então, S_{3} gera \mathbb{R}^3.

Passo 5

Para S_{4}=\{v_{2},v_{3},v_{4}\} usamos
M_{4}=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5\\\\ 5 & 2 & 9\\\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}
e
\det(M_{4}) =2\bigl(2\cdot1-9\cdot4\bigr) -3\bigl(5\cdot1-9\cdot1\bigr) +5\bigl(5\cdot4-2\cdot1\bigr) =34\neq0.
Logo, S_{4} gera \mathbb{R}^3.

Passo 6

Como todos os determinantes são diferentes de zero, cada conjunto de três vetores é linearmente independente e, portanto, gera \mathbb{R}^3.

Resposta

Todos os conjuntos S_{1},S_{2},S_{3} e S_{4} geram \mathbb{R}^3.

Exercícios relacionados