Determine se os conjuntos abaixo geram \mathbb{R}^{3}.
v_{1}=(2,1,3), v_{2}=(4,1,2), v_{3}=(8,1,8).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \{v_1,v_2,v_3\} gera \mathbb{R}^3, onde
v_{1}=(2,1,3),\quad v_{2}=(4,1,2),\quad v_{3}=(8,1,8).
O conteúdo é espaço gerado e independência linear em \mathbb{R}^3. Três vetores em \mathbb{R}^3 geram o espaço se, e somente se, são linearmente independentes, o que equivale a ter determinante não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas são v_1,v_2,v_3:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\\\ 4 & 1 & 2\\\\ 8 & 1 & 8 \end{pmatrix}
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) = 2\,(1\cdot8 - 2\cdot1) - 1\,(4\cdot8 - 2\cdot8) + 3\,(4\cdot1 - 1\cdot8).
Calculando os menores:
1\cdot8 - 2\cdot1 = 6,\quad 4\cdot8 - 2\cdot8 = 16,\quad 4\cdot1 - 1\cdot8 = -4,
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\det(A) = 2\cdot6 - 1\cdot16 + 3\cdot(-4) = 12 - 16 - 12 = -16.

Passo 3

Como \det(A) = -16 \neq 0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram \mathbb{R}^3.

Resposta

Sim, \{v_{1},v_{2},v_{3}\} gera \mathbb{R}^{3}.

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