Determine se os conjuntos abaixo geram \mathbb{R}^{3}. v_{1}=(2,1,3), v_{2}=(4,1,2), v_{3}=(8,1,8). Passo 1O enunciado pede para verificar se \{v_1,v_2,v_3\} gera \mathbb{R}^3, onde v_{1}=(2,1,3),\quad v_{2}=(4,1,2),\quad v_{3}=(8,1,8). O conteúdo é espaço gerado e independência linear em \mathbb{R}^3. Três vetores em \mathbb{R}^3 geram o espaço se, e somente se, são linearmente independentes, o que equivale a ter determinante não nulo. Passo 2Formamos a matriz cujas linhas são v_1,v_2,v_3: A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\\\ 4 & 1 & 2\\\\ 8 & 1 & 8 \end{pmatrix} e calculamos o determinante por expansão na primeira linha: \det(A) = 2\,(1\cdot8 - 2\cdot1) - 1\,(4\cdot8 - 2\cdot8) + 3\,(4\cdot1 - 1\cdot8). Calculando os menores: 1\cdot8 - 2\cdot1 = 6,\quad 4\cdot8 - 2\cdot8 = 16,\quad 4\cdot1 - 1\cdot8 = -4, logo \det(A) = 2\cdot6 - 1\cdot16 + 3\cdot(-4) = 12 - 16 - 12 = -16. Passo 3Como \det(A) = -16 \neq 0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram \mathbb{R}^3. RespostaSim, \{v_{1},v_{2},v_{3}\} gera \mathbb{R}^{3}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSeja u=(0,2,2) e v=(1,3,1). Quais dos vetores abaixo pertencem a \operatorname{span}\{u, v\} ? Para cada um, encontre (se existirem) \alpha, \beta \in \mathbb{R} tais que \alpha u+\beta v seja o vetor dado. (0,0,0) Seja u=(0,2,2) e v=(1,3,1). Quais dos vetores abaixo pertencem a \operatorname{span}\{u, v\} ? Para cada um, encontre (se existirem) \alpha, \beta \in \mathbb{R} tais que \alpha u+\beta v seja o vetor dado. (0,4,5) Determine se os conjuntos abaixo geram \mathbb{R}^{3}. v_{1}=(3,1,4), v_{2}=(2,3,5), v_{3}=(5,2,9), v_{4}=(1,4,1). Sejam v_{1}=(2,1,0,3), v_{2}=(3,1,5,2), v_{3}=(-1,0,2,1). Decida se os vetores abaixo estão em \operatorname{span}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}. (2,3,7,3)