Sejam v_{1}=(1,1,1,1), v_{2}=(0,1,1,1), v_{3}=(1,1,0,1), v_{4}=(2,1,3,1) e v_{5}= (-1,-2,2,1). Determine uma base para o subespaço V do \mathbb{R}^{4}, gerado pelos vetores v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}.
O que se pede: determinar uma base para o subespaço V\subset\mathbb{R}^{4} gerado por esses vetores, isto é, encontrar um subconjunto desses vetores que seja linearmente independente e cujo span seja exatamente V.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): para obter uma base a partir de um conjunto de vetores a técnica prática é montar uma matriz cujas colunas são esses vetores e fazer eliminação de Gauss. As colunas que contiverem pivôs (colunas-pivô) na forma escalonada correspondem aos vetores originais que formam uma base do span. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Montar a matriz A cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}:
Eliminação para obter forma mais simples (fazer zeros acima dos pivôs das colunas 3 e 5):
R_1 \leftarrow R_1 - R_3 (elimina o 1 na coluna 3 da linha 1),
R_2 \leftarrow R_2 + R_4 (elimina -1 na coluna 5 da linha 2),
R_3 \leftarrow R_3 + 4R_4 (elimina -4 na coluna 5 da linha 3),
R_1 \leftarrow R_1 - 3R_4 (elimina -1 na coluna 5 da linha 1 depois de ajustar).
Aplicando essas operações (o que fiz em ordem conveniente) obtemos a matriz:
Observação importante: estas operações são invertíveis (multiplicação pela esquerda por matriz elemental invertível), portanto preservam relações lineares entre as colunas; as colunas-pivô desta forma escalonada indicam quais colunas originais são independentes.]
Passo 8
Identificar colunas-pivô: na forma reduzida aparecem pivôs nas colunas 1,2,3,5. Isso significa que as colunas originais v_{1},v_{2},v_{3},v_{5} são linearmente independentes e geram o mesmo subespaço gerado por todos os cinco vetores. A coluna 4 é combinação linear das colunas 1,2,3 (observe a coluna 4 na forma escalonada é [4,-1,-2,0]^T, o que indica a relação).
Passo 9
Escrever explicitamente a dependência observada (útil para entender): da forma reduzida lemos
Conclusão final: uma base para V é formada pelos vetores correspondentes às colunas-pivô:
\{\,v_{1},\;v_{2},\;v_{3},\;v_{5}\,\}.
Como são quatro vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{4}, eles formam uma base de V e, na verdade, V=\mathbb{R}^{4} (ou seja, os cinco vetores geravam todo \mathbb{R}^{4}).