Sejam v_{1}=(1,1,1,1), v_{2}=(0,1,1,1), v_{3}=(1,1,0,1), v_{4}=(2,1,3,1) e v_{5}= (-1,-2,2,1). Determine uma base para o subespaço V do \mathbb{R}^{4}, gerado pelos vetores v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}.

Passo 1

O enunciado dá cinco vetores em \mathbb{R}^{4}:
v_{1}=(1,1,1,1),\quad v_{2}=(0,1,1,1),\quad v_{3}=(1,1,0,1),\quad v_{4}=(2,1,3,1),\quad v_{5}=(-1,-2,2,1).
O que se pede: determinar uma base para o subespaço V\subset\mathbb{R}^{4} gerado por esses vetores, isto é, encontrar um subconjunto desses vetores que seja linearmente independente e cujo span seja exatamente V.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): para obter uma base a partir de um conjunto de vetores a técnica prática é montar uma matriz cujas colunas são esses vetores e fazer eliminação de Gauss. As colunas que contiverem pivôs (colunas-pivô) na forma escalonada correspondem aos vetores originais que formam uma base do span. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Montar a matriz A cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 3 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Cada coluna é um dos vetores dados. O objetivo é reduzir por linhas para encontrar colunas-pivô.]

Passo 4

Aplicar operações de linha para triangularizar (explico cada operação):
  • Subtrair a linha 1 das linhas 2,3 e 4 para zerar a primeira coluna abaixo do pivô:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2-R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3-R_1,\\\ R_4 &\leftarrow R_4-R_1. \end{aligned}
O resultado é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Continuar a eliminação na segunda coluna:
  • Subtrair R_2 de R_3 e de R_4 para zerar abaixo do pivô de segunda linha:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
Fica:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Tratar a terceira e quarta linhas:
  • Multiplicar R_3 por -1 para obter pivô positivo:
R_3 \leftarrow -R_3 \Rightarrow R_3=[0\\\ 0\\\ 1\\\ -2\\\ -4].
  • Dividir R_4 por 3 para normalizar o pivô na quinta coluna:
R_4 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_4 \Rightarrow R_4=[0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 1].
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Eliminação para obter forma mais simples (fazer zeros acima dos pivôs das colunas 3 e 5):
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_3 (elimina o 1 na coluna 3 da linha 1),
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_4 (elimina -1 na coluna 5 da linha 2),
  • R_3 \leftarrow R_3 + 4R_4 (elimina -4 na coluna 5 da linha 3),
  • R_1 \leftarrow R_1 - 3R_4 (elimina -1 na coluna 5 da linha 1 depois de ajustar).
    Aplicando essas operações (o que fiz em ordem conveniente) obtemos a matriz:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Observação importante: estas operações são invertíveis (multiplicação pela esquerda por matriz elemental invertível), portanto preservam relações lineares entre as colunas; as colunas-pivô desta forma escalonada indicam quais colunas originais são independentes.]

Passo 8

Identificar colunas-pivô: na forma reduzida aparecem pivôs nas colunas 1,2,3,5. Isso significa que as colunas originais v_{1},v_{2},v_{3},v_{5} são linearmente independentes e geram o mesmo subespaço gerado por todos os cinco vetores. A coluna 4 é combinação linear das colunas 1,2,3 (observe a coluna 4 na forma escalonada é [4,-1,-2,0]^T, o que indica a relação).

Passo 9

Escrever explicitamente a dependência observada (útil para entender): da forma reduzida lemos
\text{col}_4 = 4\,\text{col}_1 - 1\,\text{col}_2 - 2\,\text{col}_3 + 0\,\text{col}_5.
Isto é, em termos dos vetores originais,
v_{4}=4v_{1}-v_{2}-2v_{3}.
Verificação rápida: 4v_{1}-v_{2}-2v_{3}=(4,4,4,4)-(0,1,1,1)-(2,2,0,2)=(2,1,3,1)=v_{4}, portanto consistente.

Passo 10

Conclusão final: uma base para V é formada pelos vetores correspondentes às colunas-pivô:
\{\,v_{1},\;v_{2},\;v_{3},\;v_{5}\,\}.
Como são quatro vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{4}, eles formam uma base de V e, na verdade, V=\mathbb{R}^{4} (ou seja, os cinco vetores geravam todo \mathbb{R}^{4}).

Resposta

\{(1,1,1,1),\\ (0,1,1,1),\\ (1,1,0,1),\\ (-1,-2,2,1)\}

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