Sejam V um espaço euclidiano e u, v in V. Determine o cosseno do ângulo entre os vetores u e v, sabendo que |u|=3,|v|=7 e |u+v|=4 raiz5.

Passo 1

O enunciado dá um espaço euclidiano V e dois vetores u,vin V com normas
|u|=3, |v|=7 e |u+v|=4raiz5.
Queremos o cosseno do ângulo theta entre u e v, que em qualquer espaço euclidiano satisfaz
costheta = ucdot v|u|;|v|

Passo 2

Para achar ucdot v, usamos a identidade
|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2,ucdot v
Substituindo os valores conhecidos:
(4raiz5)^2 = 3^2 + 7^2 + 2,ucdot v Longrightarrow 80 = 9 + 49 + 2,ucdot v Longrightarrow 2,ucdot v = 80 - 58 = 22
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ucdot v = 11

Passo 3

Agora basta usar a definição de cosseno:
costheta = ucdot v|u|;|v| = 113cdot 7 = 1121

Resposta

1121

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