Questão 5 Considere o corpo dos reais.
Sabe-se que os vetores u=(0,3) e v=(1,-1) são representados na base G por u= (-1,2)G e v=(1,-1)G. Determine G.

Passo 1

O enunciado trabalha em R^2 e pede para encontrar uma base G=g1,g2 tal que os vetores
u=(0,3), v=(1,-1)
tenham, nessa base, as coordenadas
u = (-1,2)G, v=(1,-1)G
O conteúdo é mudança de base: expressar u e v como combinação linear de g1 e g2.

Passo 2

Sejam
g1=(a,b), g2=(c,d)
As coordenadas em G dizem que
u = -1,g1 +2,g2 = (0,3),
v = 1,g1 -1,g2 = (1,-1)

Passo 3

Traduzindo em componentes, obtemos o sistema
(-a+2c,,-b+2d)=(0,3), (a-c,;b-d)=(1,-1)
Ou seja,
-a+2c=0, -b+2d=3, a-c=1, b-d=-1

Passo 4

Da equação -a+2c=0 segue a=2c. Substituindo em a-c=1
2c - c =1 implies c=1, a=2

Passo 5

Da equação b-d=-1 vem d=b+1. Substituindo em -b+2d=3
-b +2(b+1)=3 implies -b+2b+2=3 implies b+2=3 implies b=1,
logo d=1+1=2.

Passo 6

Assim
g1=(2,1), g2=(1,2)

Resposta

G = (2,1),,(1,2).

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