Sejam V um espaço vetorial e B=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base de V. Mostre que B^{\prime}=\left\{v_{1}, v_{1}-v_{2}, v_{1}-v_{3}, \ldots, v_{1}-v_{n}\right\} também é uma base de V e determine [I]_{B}^{B^{\prime}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
B'=\{\,v_{1},\,v_{1}-v_{2},\,v_{1}-v_{3},\dots,v_{1}-v_{n}\}
é uma base de V e, em seguida, determinar a matriz de mudança de base do operador identidade
[I]_{B}^{B'}: \bigl[v\bigr]_{B}\longmapsto\bigl[v\bigr]_{B'}.
O conteúdo envolve independência linear, dimensão finita e mudança de base.

Passo 2

Mostramos que B' é linearmente independente. Suponha
a_{1}v_{1}+a_{2}(v_{1}-v_{2})+\cdots+a_{n}(v_{1}-v_{n})=0.
Agrupando termos obtemos
(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})\,v_{1}\;-\;a_{2}v_{2}\;-\cdots-\;a_{n}v_{n}=0.
Como \{v_{1},\dots,v_{n}\} é base de V, todos os coeficientes devem ser zero. Em particular para j\ge2 vem a_{j}=0 e depois a_{1}=0. Logo B' é linearmente independente.

Passo 3

Tendo n vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão n, concluímos que B' é base de V.

Passo 4

Para achar [I]_{B}^{B'} precisamos das coordenadas de cada vetor da base antiga B na nova base B'. Seja u_{1}=v_{1} e u_{j}=v_{1}-v_{j} para j=2,\dots,n.
  • Para v_{1}: claramente
v_{1}=u_{1},
logo \bigl[v_{1}\bigr]_{B'}=(1,0,0,\dots,0)^{T}.
  • Para j\ge2: da definição u_{j}=v_{1}-v_{j} segue
v_{j}=v_{1}-u_{j}=u_{1}-u_{j},
portanto \bigl[v_{j}\bigr]_{B'}=(1,0,\dots,0,\,-1,\,0,\dots,0)^{T},
onde o -1 está na j-ésima posição.

Passo 5

As colunas de [I]_{B}^{B'} são exatamente essas coordenadas, dando
[I]_{B}^{B'}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\\\ 0 & -1& 0 & \cdots & 0\\\\ 0 & 0 & -1& \cdots & 0\\\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots\\\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é de v_{1} e a j-ésima (para j\ge2) tem 1 em cima e -1 na diagonal.

Resposta

B'=\{\,v_{1},\,v_{1}-v_{2},\,\dots,v_{1}-v_{n}\}\text{ é base de }V \quad\text{e}\quad [I]_{B}^{B'}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\\\ 0 & -1& 0 & \cdots & 0\\\\ 0 & 0 & -1& \cdots & 0\\\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots\\\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 \end{pmatrix}.é

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