Sejam V um espaço vetorial e B=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base de V. Mostre que B^{\prime}=\left\{v_{1}, v_{1}-v_{2}, v_{1}-v_{3}, \ldots, v_{1}-v_{n}\right\} também é uma base de V e determine [I]_{B}^{B^{\prime}}.
Como \{v_{1},\dots,v_{n}\} é base de V, todos os coeficientes devem ser zero. Em particular para j\ge2 vem a_{j}=0 e depois a_{1}=0. Logo B' é linearmente independente.
Passo 3
Tendo n vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão n, concluímos que B' é base de V.
Passo 4
Para achar [I]_{B}^{B'} precisamos das coordenadas de cada vetor da base antiga B na nova base B'. Seja u_{1}=v_{1} e u_{j}=v_{1}-v_{j} para j=2,\dots,n.
Para v_{1}: claramente
v_{1}=u_{1},
logo \bigl[v_{1}\bigr]_{B'}=(1,0,0,\dots,0)^{T}.
Para j\ge2: da definição u_{j}=v_{1}-v_{j} segue
v_{j}=v_{1}-u_{j}=u_{1}-u_{j},
portanto \bigl[v_{j}\bigr]_{B'}=(1,0,\dots,0,\,-1,\,0,\dots,0)^{T},
onde o -1 está na j-ésima posição.
Passo 5
As colunas de [I]_{B}^{B'} são exatamente essas coordenadas, dando