Sejam V um espaço vetorial e B=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base de V. Determine [I]_{B}^{B}.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial V de dimensão n e uma base \;B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}. Queremos encontrar a matriz de \;I:V\to V, I(x)=x, em relação à base B tanto no domínio quanto no contradomínio.
O conteúdo aqui é representação matricial de transformações lineares e vamos usar a definição de matriz de um operador linear em bases dadas.

Passo 2

Seja f:V\to W linear, B=\{u_1,\dots,u_n\} base de V e C=\{w_1,\dots,w_m\} base de W. A matriz [f]_{B}^{C} é a matriz m\times n cujas colunas são as coordenadas de f(u_j) em C. Em outras palavras, a j-ésima coluna de [f]_{B}^{C} é
[f]_{B}^{C}\bigl[\ast,j\bigr] = \bigl[f(u_j)\bigr]_{C}.

Passo 3

No nosso caso f=I, logo I(v_j)=v_j. Como a base de chegada é a mesma B, as coordenadas de v_j em B são exatamente o vetor canônico \,e_j\in\mathbb{R}^n, que tem 1 na posição j e 0 nas demais. Portanto, as colunas de [I]_{B}^{B} são
e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_n,
ou seja, formam a matriz identidade de ordem n.

Resposta

[I]_{B}^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\\\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \;=\;I_{n}.

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