Verificar que não são subespaços vetoriais do R^2 : Em cada caso quais axiomas não se verificam?
(x, y) in R^2 mid x<y

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = (x,y)in R^2 mid x<y
e pede para mostrar que S não é subespaço vetorial de R^2. Para isso precisamos checar os três axiomas de subespaço:
  1. conter o vetor zero;
  2. ser fechado sob soma;
  3. ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0) pertence a S. Isso exige
0 < 0,
o que é falso. Logo (0,0)notin S, ou seja, falha o axioma de conter o vetor zero.

Passo 3

Agora vemos fechamento sob soma. Se (x1,y1) e (x2,y2) estão em S, então
x1 < y1 e x2 < y2
somam-se para
(x1+x2) < (y1+y2),
logo (x1+x2,y1+y2)in S. Portanto o fechamento sob soma é satisfeito.

Passo 4

Por fim, teste de multiplicação escalar. Tome lambda=-1 e um vetor em S, por exemplo (1,2). Então
lambda,(1,2) = (-1,-2)
e -1 < -2 é falso, logo (-1,-2)notin S. Falha o axioma de fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto não é subespaço porque não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação escalar.

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