Sobre a matriz A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & k \\\\ 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 & 2\end{array}\right) apenas uma das afirmações é VERDADEIRA. Assinale-a. \bigcirc A) \operatorname{det} A=-3 para qualquer valor de k. \bigcirc B) A não é inversível, qualquer que seja o valor de k. \bigcirc C) Se k=1, então A não é inversível
e pede que aponte qual das três afirmações é verdadeira:
A) \det A=-3 para qualquer valor de k.
B) A não é inversível, qualquer que seja o valor de k.
C) Se k=1, então A não é inversível.
As informações relevantes dadas são exatamente os elementos de A (mostrados acima) e as três alternativas sobre \det A e sobre a inversibilidade. A tarefa é escolher qual afirmação é verdadeira.]
Passo 2
Vamos decidir o método: para saber se uma matriz é inversível usamos a relação entre determinante e inversibilidade. Regra principal: uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Portanto, calcular \det A é a maneira direta de resolver todas as alternativas (pois A dá um valor para \det A, B afirma que \det A=0 para todo k, e C afirma que \det A=0 quando k=1). Vou calcular \det A explicitamente, mostrando passo a passo.
Passo 3
Observação útil na matriz: a terceira coluna de A é muito simples — seus elementos são 1,0,0,0. Vou escrever isso explicitamente:
\text{coluna 3 de }A = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Quando uma coluna (ou linha) tem poucos elementos não nulos, é conveniente fazer expansão de Laplace (cofatores) por essa coluna, porque só teremos poucos cofatores não nulos.]
Passo 4
Fazendo expansão de Laplace por essa terceira coluna: há apenas um elemento não nulo, na posição (1,3), com valor 1. A fórmula da expansão por coluna diz
\det A = \sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+3}\, a_{i3}\, \det(M_{i3}),
onde M_{i3} é a matriz obtida de A retirando a linha i e a coluna 3. Aqui só o termo i=1 contribui (pois os outros a_{23},a_{33},a_{43} são zeros). Assim
\det A = (-1)^{1+3}\cdot 1 \cdot \det(M_{13}).
Como (-1)^{1+3}=(-1)^4=1, temos simplesmente
\det A = \det(M_{13}).
Passo 5
Agora escrevo explicitamente a matriz M_{13}: é a submatriz 3\times3 obtida retirando a linha 1 e a coluna 3 de A. Peguei esses dados da própria matriz dada no enunciado. Logo
Como \det A = \det(M_{13}) (do Passo 4) e já encontramos \det(M_{13})=-3, concluímos que
\det A = -3.
Importante: nesse cálculo não apareceu o parâmetro k; ou seja, \det A é igual a -3 independentemente do valor de k. Portanto \det A não é zero para qualquer k.
Passo 8
Interpretação das alternativas usando o resultado:
A) Afirma que \det A=-3 para qualquer valor de k. Isso corresponde exatamente ao que acabamos de mostrar — essa afirmação é verdadeira.
B) Afirma que A não é inversível qualquer que seja k. Isso seria verdade somente se \det A=0 para todo k. Mas \det A=-3\neq 0, então A é inversível para todos os k. Logo B é falsa.
C) Afirma que se k=1 então A não é inversível. Como \det A=-3 também quando k=1, a matriz continua tendo determinante diferente de zero e portanto é inversível. Logo C é falsa.