Sobre a matriz A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & k \\\\ 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 & 2\end{array}\right) apenas uma das afirmações é VERDADEIRA. Assinale-a.
\bigcirc A) \operatorname{det} A=-3 para qualquer valor de k.
\bigcirc B) A não é inversível, qualquer que seja o valor de k.
\bigcirc C) Se k=1, então A não é inversível

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & k \\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & -1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 0 & 2\end{pmatrix}
e pede que aponte qual das três afirmações é verdadeira:
A) \det A=-3 para qualquer valor de k.
B) A não é inversível, qualquer que seja o valor de k.
C) Se k=1, então A não é inversível.
As informações relevantes dadas são exatamente os elementos de A (mostrados acima) e as três alternativas sobre \det A e sobre a inversibilidade. A tarefa é escolher qual afirmação é verdadeira.]

Passo 2

Vamos decidir o método: para saber se uma matriz é inversível usamos a relação entre determinante e inversibilidade. Regra principal: uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Portanto, calcular \det A é a maneira direta de resolver todas as alternativas (pois A dá um valor para \det A, B afirma que \det A=0 para todo k, e C afirma que \det A=0 quando k=1). Vou calcular \det A explicitamente, mostrando passo a passo.

Passo 3

Observação útil na matriz: a terceira coluna de A é muito simples — seus elementos são 1,0,0,0. Vou escrever isso explicitamente:
\text{coluna 3 de }A = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Quando uma coluna (ou linha) tem poucos elementos não nulos, é conveniente fazer expansão de Laplace (cofatores) por essa coluna, porque só teremos poucos cofatores não nulos.]

Passo 4

Fazendo expansão de Laplace por essa terceira coluna: há apenas um elemento não nulo, na posição (1,3), com valor 1. A fórmula da expansão por coluna diz
\det A = \sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+3}\, a_{i3}\, \det(M_{i3}),
onde M_{i3} é a matriz obtida de A retirando a linha i e a coluna 3. Aqui só o termo i=1 contribui (pois os outros a_{23},a_{33},a_{43} são zeros). Assim
\det A = (-1)^{1+3}\cdot 1 \cdot \det(M_{13}).
Como (-1)^{1+3}=(-1)^4=1, temos simplesmente
\det A = \det(M_{13}).

Passo 5

Agora escrevo explicitamente a matriz M_{13}: é a submatriz 3\times3 obtida retirando a linha 1 e a coluna 3 de A. Peguei esses dados da própria matriz dada no enunciado. Logo
M_{13}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 2 \end{pmatrix},
onde as colunas são as colunas 1,2,4 de A e as linhas são as linhas 2,3,4 de A.]

Passo 6

Agora calculo \det(M_{13}). Para uma matriz 3\times3
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
o determinante é
a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Vou aplicar essa fórmula ao M_{13}. Identificando
a=2,\\ b=1,\\ c=1,\\ d=1,\\ e=-1,\\ f=1,\\ g=2,\\ h=1,\\ i=2, obtemos:
Calculemos termo a termo:
a(ei-fh)=2\big((-1)\cdot 2 - 1\cdot 1\big)=2(-2-1)=2(-3)=-6.
-b(di-fg)=-1\big(1\cdot 2 - 1\cdot 2\big)=-1(2-2)=-1\cdot 0=0.
c(dh-eg)=1\big(1\cdot 1 - (-1)\cdot 2\big)=1(1-(-2))=1(3)=3.
Somando os três termos:
\det(M_{13}) = -6 + 0 + 3 = -3.]

Passo 7

Como \det A = \det(M_{13}) (do Passo 4) e já encontramos \det(M_{13})=-3, concluímos que
\det A = -3.
Importante: nesse cálculo não apareceu o parâmetro k; ou seja, \det A é igual a -3 independentemente do valor de k. Portanto \det A não é zero para qualquer k.

Passo 8

Interpretação das alternativas usando o resultado:
  • A) Afirma que \det A=-3 para qualquer valor de k. Isso corresponde exatamente ao que acabamos de mostrar — essa afirmação é verdadeira.
  • B) Afirma que A não é inversível qualquer que seja k. Isso seria verdade somente se \det A=0 para todo k. Mas \det A=-3\neq 0, então A é inversível para todos os k. Logo B é falsa.
  • C) Afirma que se k=1 então A não é inversível. Como \det A=-3 também quando k=1, a matriz continua tendo determinante diferente de zero e portanto é inversível. Logo C é falsa.

Resposta

(A) \det A=-3 para qualquer valor de k.

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